Cho số phức z.Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của \(\left|z\right|\).Biết \(\left|z^2+1\right|=4\left|z\right|\)
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left|z-3-4i\right|=\sqrt{5}\). Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\left|z+2\right|^2-\left|z-i\right|^2\). Môđun của số phức \(w=M+mi\) là?
Giải thích cho mình dòng bôi vàng ở dưới ạ, mình cảm ơn nhiều ♥
Mọi điểm M biểu diễn z đều phải thỏa mãn 2 điều kiện: vừa thuộc đường tròn (C) vừa thuộc đường thẳng \(\Delta\) (tham số P)
Do đó, M là giao điểm của (C) và \(\Delta\)
Hay tham số P phải thỏa mãn sao cho (C) và \(\Delta\) có ít nhất 1 điểm chung
Hay hệ pt nói trên có nghiệm (thật ra chi tiết đó là thừa, chỉ cần biện luận (C) và \(\Delta\) có ít nhất 1 điểm chung \(\Rightarrow d\left(I;\Delta\right)\le R\) là đủ)
Cho các số phức \(z_1\), \(z_2\) thoả mãn \(\left|z-2\right|=\left|z\right|\) và \(\left|z_2-z_1\right|=4\). Số phức \(w\) thoả mãn \(\left|w-3-5i\right|=1\), số phức \(u\) thoả mãn \(\left|u-4+4i\right|=2\). Giá trị nhỏ nhất của \(T=\left|w-z_2\right|+\left|u-z_1\right|\) là
A. \(5\sqrt{3}-3\) B. \(5\sqrt{2}-3\) C. \(2\sqrt{5}-3\) D. \(5\sqrt{3}-2\)
Cho các số phức z1,z2,z3 thỏa mãn \(\left|\text{z}_1+1-4i\right|=2,\left|\text{z}_2-4-6i\right|=1\) và \(\left|\text{z}_3-1\right|=\left|\text{z}_3-2+i\right|\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức \(P=\left|\text{z}_3-\text{z}_1\right|+\left|\text{z}_3-\text{z}_2\right|\)
\(A.\dfrac{\sqrt{14}}{2}+2\)
\(B.\sqrt{29}-3\)
\(C.\dfrac{\sqrt{14}}{2}+2\sqrt{2}\)
\(D.\sqrt{85}-3\)
Cho số phức z thoả mãn |\(z+\overline{z}+2\)| + \(2\left|z-\overline{z}-2i\right|\le12\). Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức \(P=\left|z-4-4i\right|\). Tính M+ m
Đặt \(z=x+yi\)
\(\left|x+yi+x-yi+2\right|+2\left|x+yi-x+yi-2i\right|\le12\)
\(\Leftrightarrow\left|2x+2\right|+4\left|\left(y-1\right)i\right|\le12\)
\(\Leftrightarrow\left|x+1\right|+2\left|y-1\right|\le6\)
Tập hợp z là miền trong hình thoi (gồm cả biên) với 4 đỉnh: \(A\left(-7;1\right)\) ; \(B\left(-1;4\right)\) ; \(C\left(5;1\right)\) ; \(D\left(-1;-2\right)\)
\(P^2=\left|z-4-4i\right|^2=\left(x-4\right)^2+\left(y-4\right)^2\) có tập hợp là đường tròn (C) tâm \(I\left(4;4\right)\) bán kính \(R=P>0\) sao cho (C) và hình thoi ABCD có ít nhất 1 điểm chung
Từ hình vẽ ta thấy \(P_{max}\) khi (C) đi qua A \(\Rightarrow P=IA\) và \(P_{min}\) khi (C) tiếp xúc BC \(\Rightarrow P=d\left(I;BC\right)\)
\(\overrightarrow{IA}=\left(-11;-3\right)\Rightarrow M=IA=\sqrt{130}\)
\(\overrightarrow{BC}=\left(6;-3\right)\Rightarrow\) đường thẳng BC nhận (1;2) là 1 vtpt
Phương trình BC: \(1\left(x+1\right)+2\left(y-4\right)=0\Leftrightarrow x+2y-7=0\)
\(\Rightarrow m=d\left(I;BC\right)=\dfrac{\left|4+2.4-7\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow M+m=\sqrt{130}+\sqrt{5}\)
Cho hai số phức \(z_1,z_2\) thỏa mãn \(\left|z_1+3+2i\right|=1\) và \(\left|z_2+2-i\right|=1\). Xét các số phức \(z=a+bi\), (\(a,b\in R\)) thỏa mãn \(2a-b=0\). Khi biểu thức \(T=\left|z-z_1\right|+\left|z-2z_2\right|\) đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị biểu thức \(P=a^2+b^2\) bằng?
Cho hai số phức \(z\) và \(w\) thay đổi thỏa mãn các điều kiện \(\left|z+1+i\right|=\left|z\right|\) và \(\left|w-3-4i\right|=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\left|z-w-1-i\right|\)
A.\(minP=5\sqrt{2}\) B. \(minP=5\sqrt{2}-1\) C. \(minP=3\sqrt{2}\) D. \(minP=3\sqrt{2}-1\)
Mình cần bài giải ạ, mình cảm ơn nhiều♥
\(z=x+yi\Rightarrow\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2=x^2+y^2\)
\(\Rightarrow x+y+1=0\Rightarrow\) tập hợp z là đường thẳng d: \(x+y+1=0\)
\(P=\left|\left(z-4-5i\right)-\left(w-3-4i\right)\right|\ge\left|\left|z-4-5i\right|-\left|w-3-4i\right|\right|=\left|\left|z-4-5i\right|-1\right|\)
Gọi M là điểm biểu diễn z và \(A\left(4;5\right)\Rightarrow\left|z-4-5i\right|=AM\)
\(AM_{min}=d\left(A;d\right)=\dfrac{\left|4+5+1\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=5\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow P\ge\left|5\sqrt{2}-1\right|=5\sqrt{2}-1\)
Cho N là điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \(\dfrac{z+2-3i}{z-3}=1-i\) và M là điểm biểu diễn số phức z' thoả mãn \(\left|z'-2-i\right|+\left|z'+3-3i\right|=\sqrt{29}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của MN
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left|z\right|=1\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\left|1+z\right|+2\left|1-z\right|\) bằng?
Có cách nào chứng minh không cần dùng bất đẳng thức Bunyakovsky không ạ, mình cảm ơn nhiều♥
Có thể đưa về hàm số:
\(AB=2\Rightarrow MB=\sqrt{AB^2-MA^2}=\sqrt{4-MA^2}\)
Đặt \(MA=t\) với \(0\le t\le2\) \(\Rightarrow MB=\sqrt{4-t^2}\)
\(P=MA+2MB=f\left(t\right)=t+2\sqrt{4-t^2}\)
Xét hàm \(f\left(t\right)\) trên \(\left[0;2\right]\)
\(f'\left(t\right)=1-\dfrac{2t}{\sqrt{4-t^2}}=0\Rightarrow2t=\sqrt{4-t^2}\Rightarrow5t^2=4\Rightarrow t=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)
\(f\left(0\right)=4\) ; \(f\left(2\right)=2\) ; \(f\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)=2\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow f\left(t\right)_{max}=2\sqrt{5}\Rightarrow P_{max}=2\sqrt{5}\)
Cho \(z_1,z_2\) là hai số phức thoả mãn \(\left|z-4-3i\right|=2\) và \(\left|z_1-z_2\right|=3\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(M=\left|z_1+z_2-2+2i\right|\) là