\(cos2A+cos2B+cos2c+\dfrac{3}{2}\le0\)

\(\Leftrightarrow2cos\left(A+B\right)cos\left(A-B\right)+2cos^2C-1+\dfrac{3}{2}\le0\)

\(\Leftrightarrow-2cosC.cos\left(A-B\right)+2cos^2C+\dfrac{1}{2}\le0\)

\(\Leftrightarrow4cos^2C-4cosC.cos\left(A-B\right)+cos^2\left(A-B\right)-cos^2\left(A-B\right)+1\le0\)

\(\Leftrightarrow\left[2cosC-cos\left(A-B\right)\right]^2+sin^2\left(A-B\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2cosC-cos\left(A-B\right)=0\\sin\left(A-B\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A=B=C\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\) đều

B là đáp án đúng

\(cos2A+cos2B-cos2C\le\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow2cos\left(A+B\right).cos\left(A-B\right)-2cos^2C+1\le\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow-cos\left(C\right).cos\left(A-B\right)-cos^2C\le\frac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow4cos^2C+4cosC.cos\left(A-B\right)+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow4cos^2C+4cosC.cos\left(A-B\right)+cos^2\left(A-B\right)+sin^2\left(A-B\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2cosC+cos\left(A-B\right)\right)^2+sin^2\left(A-B\right)\ge0\)(đúng)

Ta có ĐPCM

Nguyễn Lê Phước Thịnh CTVVIP         , nguyen thi vang 

Nguyễn Lê Phước Thịnh CTVVIP         , nguyen thi vang 

Nguyễn Lê Phước Thịnh CTVVIP         , nguyen thi vang 

a)

\(cosA=\sqrt{cosA^2}=\sqrt{\frac{AF}{AB}\cdot\frac{AE}{AC}}=\sqrt{\frac{AF}{AC}\cdot\frac{AE}{AB}}\le\frac{\frac{AF}{AC}+\frac{AE}{AB}}{2}\)(BDT AM-GM)

Tương tự ta có: 

\(cosB\le\frac{\frac{BE}{BA}+\frac{BD}{BC}}{2};cosC\le\frac{\frac{CD}{CB}+\frac{CF}{CA}}{2}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{\frac{CF+AF}{AC}+\frac{AE+BE}{AB}+\frac{BD+DC}{BC}}{2}=\frac{1+1+1}{2}=\frac{3}{2}\)

Cách khác

CHo Tam giác ABC, M là 1 điểm bất kì nằm trong tam giác

Đặt x₁=MA;x₂=MB;x₃=MC và p₁;p₂;p₃ lần lượt là khoảng cách từ M đến BC,CA,AB tương ứng. Khi đó ta có BĐT \(x_1+x_2+x_3\ge2\left(p_1+p_2+p_3\right)\)

Vận dụng giải bài trên:

Gọi O,R là tâm và bán kính đg tròng ngoại tiếp Tam giá ABC

Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của cạnh AB,BC,CA

Dễ thấy \(^{\widehat{A}=\widehat{MOB}}\).Do đó:

\(cosA=cos\left(\widehat{MOB}\right)=\frac{OM}{OB}=\frac{OM}{R}\)

tương tự \(cosB=\frac{ON}{R};cosC=\frac{OP}{R}\)

Do đó \(cosA+cosB+cosC=\frac{OM+ON+OP}{T}\le\frac{1}{2}\left(\frac{OA+OB+OC}{R}\right)=\frac{3}{2}\) (BĐT erdos-mordell )

Dấu "=" khi tam giác ABC đều 

thank nha thắng .. cậu lm ra câu b chưa 

Lời giải:

Sử dụng các công thức lượng giác ta thực hiện biến đổi biểu thức như sau:

\(\cos 2A+\cos 2B+\cos =2\cos \frac{2A+2B}{2}\cos \frac{2A-2B}{2}+\cos ^2C-\sin ^2C\)

\(=2\cos (A+B)\cos (A-B)+2\cos ^2C-(\sin ^2C+\cos ^2C)\)

\(=2\cos (\pi -C)\cos (A-B)+2\cos ^2C-1\)

\(=2\cos ^2C-2\cos C\cos ^2(A-B)-1\)

\(=2[\cos ^2C-\cos C\cos (A-B)+\frac{1}{4}\cos ^2(A-B)]-\frac{1}{2}\cos ^2(A-B)-1\)

\(=2[\cos C-\frac{1}{2}\cos (A-B)]^2-\frac{1}{2}\cos ^2(A-B)-1\)

Ta thấy :

\(2[\cos C-\frac{1}{2}\cos (A-B)]^2\geq 0\)

\(\cos ^2(A-B)\leq 1\) (tính chất hàm cos)

\(\Rightarrow \cos 2A+\cos 2B+\cos 2C\geq 2.0-\frac{1}{2}.1-1=\frac{-3}{2}\)

Ta có đpcm.