Question

Cho tam giác ABC CM : Cos2A + Cos2B + Cos2C \(\ge-\dfrac{3}{2}\)

Answer 1

Lời giải:

Sử dụng các công thức lượng giác ta thực hiện biến đổi biểu thức như sau:

\(\cos 2A+\cos 2B+\cos =2\cos \frac{2A+2B}{2}\cos \frac{2A-2B}{2}+\cos ^2C-\sin ^2C\)

\(=2\cos (A+B)\cos (A-B)+2\cos ^2C-(\sin ^2C+\cos ^2C)\)

\(=2\cos (\pi -C)\cos (A-B)+2\cos ^2C-1\)

\(=2\cos ^2C-2\cos C\cos ^2(A-B)-1\)

\(=2[\cos ^2C-\cos C\cos (A-B)+\frac{1}{4}\cos ^2(A-B)]-\frac{1}{2}\cos ^2(A-B)-1\)

\(=2[\cos C-\frac{1}{2}\cos (A-B)]^2-\frac{1}{2}\cos ^2(A-B)-1\)

Ta thấy :

\(2[\cos C-\frac{1}{2}\cos (A-B)]^2\geq 0\)

\(\cos ^2(A-B)\leq 1\) (tính chất hàm cos)

\(\Rightarrow \cos 2A+\cos 2B+\cos 2C\geq 2.0-\frac{1}{2}.1-1=\frac{-3}{2}\)

Ta có đpcm.