Ôn tập cuối năm môn Đại số

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Minh Nguyệt

Cho tam giác ABC, x,y,z ∈ R. Chứng minh:

x2 + y2 + z2 +2(xycos2C + yzcos2A + xzcos2B) ≥ 0

Nguyễn Việt Lâm
13 tháng 5 2020 lúc 0:23

Câu này có 1 cách giải rất độc đáo:

Trong tam giác ABC, gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp

\(\Rightarrow\widehat{BOC}=2A\) (góc nt và góc ở tâm cùng chắn BC)

Tương tự với 2 góc còn lại

Gọi \(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}\) là các vecto có độ dài bằng 1 đơn vị và cùng phương với \(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OC}\) \(\Rightarrow\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=\widehat{AOB}=2C\)

\(\left(\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}\right)=\widehat{BOC}=2A\) ; \(\left(\overrightarrow{c};\overrightarrow{a}\right)=\widehat{AOC}=2B\)

Với mỗi bộ số \(\left(x;y;z\right)\) ta luôn xác định được các điểm X; Y; Z sao cho:

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{OX}=x.\overrightarrow{a}\\\overrightarrow{OY}=y.\overrightarrow{b}\\\overrightarrow{OZ}=z.\overrightarrow{c}\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(\left(\overrightarrow{OX}+\overrightarrow{OY}+\overrightarrow{OZ}\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x.\overrightarrow{a}+y.\overrightarrow{b}+z.\overrightarrow{c}\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy.cos\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)+2yz.cos\left(\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}\right)+2zx.cos\left(\overrightarrow{c};\overrightarrow{a}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy.cos2C+2yz.cos2A+2zx.cos2B\ge0\)


Các câu hỏi tương tự
Minh Nguyệt
Xem chi tiết
vvvvvvvv
Xem chi tiết
Kiều_My
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Anh
Xem chi tiết
Hoàng
Xem chi tiết
ma văn đoàn
Xem chi tiết
Trịnh Đạt
Xem chi tiết
Ryoji
Xem chi tiết
Nguyễn Thùy Chi
Xem chi tiết