M=\(a^2+ab+b^2-3a-3b+2001\)

<=>2M=\(\left(a^2+b^2+4+2ab-4a-4b\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+3996\)

=\(\left(a+b-2\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+3996\ge0+0+0+3996\)

<=> \(2M\ge3996\)

<=>M\(\ge1998\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\\a=1\\b=1\end{matrix}\right.\)(t/m)

Vậy minM=1998 <=>a=b=1

Ta có :

\(M=a^2+ab+b^2-3a-3b+2001\)

\(\Leftrightarrow2M=2a^2+2ab+2b^2-6a-6b+4002\)

\(\Leftrightarrow2M=\left(a^2+2ab+b^2\right)-4\left(a+b\right)+4+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2a+1\right)+3996\)

\(\Leftrightarrow2M=\left(a+b\right)^2-4\left(a+b\right)+4+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+3996\)

\(\Leftrightarrow2M=\left(a+b-2\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+3996\)

Với mọi a,b ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(a+b-2\right)^2\ge0\\\left(a-1\right)^2\ge0\\\left(b-1\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow2M\ge3996\Leftrightarrow M\ge1998\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\)

Vậy...

Ta có 4M = 4a² + 4ab + 4b² - 12a - 12b + 8052

= (4a² + 4ab + b²) - 6(2a + b) + 9 + 3b² - 6b + 3 + 8040

= (2a + b)² - 6(a + b) + 9 + 3(b² - 2b + 1) + 8040 

= (2a + b - 3)² + 3(b - 1)² + 8040 \(\ge\)8040

=> Min 4M = 8040

=> Min M = 2010

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}2a+b-3=0\\b-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=1\)

Vạy Min M = 2010 <=> a = b = 1

a. \(P=a^2+ab+b^2-3a-3b+1989\)

\(4P=4a^2+4ab+4b^2-12a-12b+7956\)

\(4P=\left(4a^2+4ab+b^2\right)-\left(12a+6b\right)+9+\left(3b^2-6b+3\right)+7944\)

\(4P=\left(2a+b\right)^2-2.3\left(2a+b\right)+3^2+3\left(b^2-2b+1\right)+7944\)

\(4P=\left(2a+b-3\right)^2+3\left(b-1\right)^2+7944\ge7944\)

\(\Rightarrow P\ge1986\)

\(\Rightarrow Min_P=1986\Leftrightarrow a=b=1\)

\(M=a^2+ab+b^2-3a-3b+2001\)

\(\Rightarrow2M=2a^2+2ab+2b^2-6a-6b+4002\)

\(=\left(a^2+2ab+b^2\right)-4\left(a+b\right)+4+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+3996\)

\(=\left(a+b-2\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+3996\ge3996\)

\(\Rightarrow M\ge1998\)

Với các bài toán tìm max, min 2 biến kiểu như thế này, em hay cố gắng nhân M lên n lần để tạo thêm được các số hạng, sang đó ghép tạo thành các bình phương.

Cách làm như sau:

\(4M=4a^2+4ab+4b^2-12a-12b+8004\)

\(=\left(4a^2+4ab+b^2\right)-6\left(2a+b\right)+3\left(b^2-2b\right)+8004\)

\(=\left(2a+b\right)^2-6\left(2a+b\right)+9+3\left(b^2-2b+1\right)+7992\)

\(=\left(2a+b-3\right)^2+3\left(b-1\right)^2+7992\ge7992\)

Vậy 4M min = 7992, vây M min = 1998.

Vậy min M = 1998 khi \(\hept{\begin{cases}b-1=0\\2a+b-3=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}b=1\\a=1\end{cases}}\)

Cho biểu thức M = a² + ab + b² – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.