Lời giải:

PT hoành độ giao điểm:

$x^2-(2x+2m-1)=0$

$\Leftrightarrow x^2-2x+(1-2m)=0(*)$

Để $(P)$ và $(d)$ cắt nhau tại 2 điểm pb có hoành độ $x_1,x_2$ thì pt $(*)$ có 2 nghiệm pb $x_1,x_2$

Điều này xảy ra khi $\Delta'=1-(1-2m)=2m>0\Leftrightarrow m>0$

Theo định lý Viet:

$x_1+x_2=2$

$x_1x_2=1-2m$

Khi đó:

$x_2^2(x_1^2-1)+x_1^2(x_2^2-1)=8$

$\Leftrightarrow 2(x_1x_2)^2-(x_1^2+x_2^2)=8$

$\Leftrightarrow 2(x_1x_2)^2-[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]=8$

$\Leftrightarrow 2(1-2m)^2-[2^2-2(1-2m)]=8$

$\Leftrightarrow 8m^2-12m=8$

$\Leftrightarrow 2m^2-3m-2=0$

$\Leftrightarrow (m-2)(2m+1)=0$

$\Leftrightarrow m=2$ hoặc $m=\frac{-1}{2}$

Vì $m>0$ nên $m=2$

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(x^2-\left(2m+1\right)x+m^2+m-6=0\left(1\right)\)

Ta có:

\(\Delta=\left(2m+1\right)^2-4\left(m^2+m-6\right)=25>0\forall m\)

\(\Rightarrow\) Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lí Vi-et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+1\\x_1x_2=m^2+m-6\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=\left(2m+1\right)^2-4\left(m^2+m-6\right)=25\)

\(\Rightarrow\left|x_1-x_2\right|=5\)

Lại có:

\(x_1^2+x_2^2+x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2=\left(2m+1\right)^2-\left(m^2+m-6\right)=3m^2+3m+7\)

Khi đó \(\left|x_1^3-x_2^3\right|=50\)

\(\Leftrightarrow\left|x_1-x_2\right|\left(x_1^2+x_2^2+x_1x_2\right)=50\)

\(\Leftrightarrow5\left(3m^2+3m+7\right)=50\)

\(\Leftrightarrow m^2+m-1=0\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\)

a: 

b: PTHĐGĐ là:

x^2-x-2=0

=>(x-2)(x+1)=0

=>x=2 hoặc x=-1

=>y=4 hoặc y=1

c: PTHĐGĐ là:

x^2-2x+m=0

Để (P) cắt (d1) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung thì m<0

Pt hoành độ giao điểm: \(x^2-2\left(m-2\right)x-5=0\)

\(\Delta'=\left(m-2\right)^2+5>0;\forall m\Rightarrow\) (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm pb

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-2\right)\\x_1x_2=-5\end{matrix}\right.\)

Do \(\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2< 0\\x_1< x_2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1< 0\\x_2>0\end{matrix}\right.\)

\(\left|x_1\right|+\left|x_2+2\right|=10\)

\(\Leftrightarrow-x_1+x_2+2=10\Leftrightarrow x_2-x_1=8\)

 \(\Leftrightarrow\left(x_2-x_1\right)^2=64\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=64\)

\(\Leftrightarrow4\left(m-2\right)^2+20=64\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)^2=11\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2+\sqrt{11}\\m=2-\sqrt{11}\end{matrix}\right.\)

a: PTHDGĐ là:

x^2-(m-1)x-(m^2+1)=0

a*c=-m^2-1<0

=>(P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục Oy

b: |x1|+|x2|=2căn 2

=>x1^2+x2^2+2|x1x2|=8

=>(x1+x2)^2-2x1x2+2|x1x2|=8

=>(m-1)^2-2(-m^2+1)+2|-m^2-1|=8

=>(m-1)^2+2(m^2+1)+2(m^2+1)=8

=>m^2-2m+1+4m^2+4=8

=>5m^2-2m-3=0

=>5m^2-5m+3m-3=0

=>(m-1)(5m+3)=0

=>m=1 hoặc m=-3/5

Em kiểm tra lại đề, đề bài sai

Ví dụ với \(m=0\) thì (d) là \(y=2x-3\), khi đó  pt hoành độ giao điểm (P) và (d) là \(x^2=2x-3\Leftrightarrow x^2-2x+3=0\) vô nghiệm nên (d) và (P) ko có điểm chung

a: Thay x=-1 và y=3 vào (d), ta được:

-2-m+1=3

=>-1-m=3

=>m=-4

b: PTHĐGĐ là;

1/2x^2-2x+m-1=0

=>x^2-4x+2m-2=0

Δ=(-4)^2-4(2m-2)

=16-8m+8=-8m+24

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì -8m+24>0

=>m<3

x1x2(y1+y2)+48=0

=>x1x2(x1^2+x2^2)+48=0

=>(2m-2)[4^2-2(2m-2)]+48=0

=>(2m-2)(16-4m+4)+48=0

=>(2m-2)*(20-4m)+48=0

=>40m-8m^2-40+8m+48=0

=>-8m^2+48m+8=0

=>m=3+căn 10 hoặc m=3-căn 10

*) xét pt hoành độ giao điểm của d và (P)

-x²=2x+m-1

<=> \(x^2+2x+m-1=0\left(1\right)\)

Có \(\Delta'=1-m+1=2-m\)

*) Để d giao với (P) tại 2 điểm phân biệt

<=> pt (1) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)

<=> \(\Delta'>0\Leftrightarrow m< 2\)

*) áp dụng Vi-et \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{-b}{2a}=-1\\x_1x_2=\frac{c}{a}=m-1\end{cases}}\)

*) Có: \(x_1^3-x_2^3+x_1x_2=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2\right]+x_1x_2=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(5-m\right)=5-m\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_1-x_2=1\\x_1+x_2=-1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x_1=\frac{-1}{2}\\x_2=\frac{-3}{2}\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow m-1=x_1x_2=\left(\frac{-1}{2}\right)\left(\frac{-3}{2}\right)=\frac{3}{4}\)

<=> \(m=\frac{7}{4}\)(tmđk m<2)

Vừa nãy mình viết nhầm Vi-et. Mình làm lại

Xét pt hoành độ của d và (P) có:

\(-x^2=2x+m-1\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x+m-1=0\left(1\right)\)

Có \(\Delta'=1-m+1=2-m\)

Để d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt <=> pt (1) có 2 nghiệm phân biệt

<=> \(\Delta'>0\Leftrightarrow m< 2\)

Theo Vi-et ta có:

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{-b}{a}=-2\\x_1x_2=\frac{c}{a}=m-1\end{cases}}\)

Có \(x_1^3-x_2^3+x_1x_2=4\)

<=> \(\left(x_1-x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2\right]+x_1x_2=4\)

<=> \(\left(x_1-x_2\right)\left(5-m\right)=5-m\)

<=> \(\hept{\begin{cases}x_1-x_2=1\\x_1+x_2=-1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x_1=\frac{-1}{2}\\x_2=\frac{-3}{2}\end{cases}}}\)

=> m-1=\(x_1x_2=\left(\frac{-1}{2}\right)\left(\frac{-3}{2}\right)=\frac{3}{4}\)

<=> \(m=\frac{7}{4}\)(tmđk)