giả sử a^2 + b^2 chia hết cho 21 
nếu a,b chia 7 dư (1...7) 
thì a^2,b^2 chia 7 dư (1;2;4) 
thì a^2 + b^2 không có giá trị nào chia hết cho 7 
=> a^2 + b^2 chia hết cho 7 <=> a chia hết cho 7 và b cũng chia hết cho 7 
=> a^2,b^2 chia hết cho 49 
a,b chia 3 dư {1,2} 
a^2,b^2 chia 3 dư 1 
=> a^2 + b^2 không có giá trị nào chia hết cho 3 
=> a và b đều chia hết cho 3 
=> a^2 + b^2 chia hết cho 9 
=> a^2 + b^2 chia hết cho 21 thì chia hết cho 21^2 = 441 

CHÚC EM HỌC TỐT ^_^

a=3

b=7
 

b.ta chia B thành 10 nhóm mỗi nhóm có 6 hạng tử  \(B=\left(2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6\right)+....+\left(2^{55}+2^{56}+2^{57}+2^{58}+2^{59}+2^{60}\right)\)

\(B\text{=}2\left(1+2+2^2+2^3+2^4+2^5\right)+...+2^{55}\left(1+2+2^2+2^3+2^4+2^5\right)\)

\(B\text{=}2.63+...+2^{56}.63\)

\(\Rightarrow B⋮63\)

\(\Rightarrow B⋮21\)

Do \(5\left(a+b\right)^2+ab\)chia hết cho 441 = 21² nên

\(4\left(5\left(a+b\right)^2+ab\right)=20\left(a+b\right)^2+4ab\)chia hết cho 21²

Ta lại có

\(20\left(a+b\right)^2+4ab=20\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)^2-\left(a-b\right)^2\)

\(=21\left(a+b\right)^2-\left(a-b\right)^2\)

Vì 21(a+b)² chia hết cho 21 nên (a - b)² chia hết cho 21

Ta thấy rằng 21 = 3.7 (3,7 là hai số nguyên tố)

Nên (a - b)² chia hết cho 3 và 7

=> (a - b) chia hết cho 3 và 7 (vì 3, 7 là số nguyên tố)

=> (a - b) chia hết cho 21

=> (a - b)² chia hết cho 21² 

Kết hợp với \(21\left(a+b\right)^2-\left(a-b\right)^2\)chia hết cho 21²

=> 21(a + b)² chia hết cho 21²

=> (a + b) chia hết cho 21

Chứng minh tương tự ta se suy ra được (a + b)² chia hết cho 21²

=> 5(a + b)² chia hết cho 21²

=> ab chia hết cho 21² = 441

\(\Delta'_1=a^2-b;\Delta'_2=b^2-a\)

\(\Delta'_1+\Delta'_2=a^2-b+b^2-a=\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(a+b-2\right)\)

\(=\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(a+b-2\right)\ge0\)

Vì \(\left(a-1\right)^2\ge0;\left(b-1\right)^2\ge0;a+b-2\ge0\left(gt\right)\)

Do đó trong hai số \(\Delta'_1;\Delta'_2\) có ít nhất 1 số ko âm

Vậy ít nhất 1 trong 2 pt đã cho có nghiệm.

Sửa đề:\(A=4+4^2+4^3+...+4^{21}\)

=>\(4A=4^2+4^3+...+4^{22}\)

=>\(4A-A=4^{22}+4^{21}+...+4^3+4^2-4^{21}-...-4^3-4^2\)

=>\(3A=4^{22}-4^2\)

=>\(A=\dfrac{4^{22}-4^2}{3}\)

\(A=4+4^2+4^3+...+4^{21}\)

\(=\left(4+4^2+4^3\right)+\left(4^4+4^5+4^6\right)+...+\left(4^{19}+4^{20}+4^{21}\right)\)

\(=4\left(1+4+4^2\right)+4^4\left(1+4+4^2\right)+...+4^{19}\left(1+4+4^2\right)\)

\(=21\left(4+4^4+...+4^{19}\right)⋮21\)