Trên đường trung trực d của đoạn AB lấy M. Kẻ MH vuông góc với AB. Trên đoạn MH lấy P. Gọi E là giao điểm của AP và MB. F là giao điểm của AM và BP.
a, MH là phân giác của góc AMB
b, MH là đường trug trực của EF
c, AF = BE
Trên đường trung trực d của đoạn thẳng AB lấy điểm M. Hạ MH \(\perp\) AB. Trên đoạn MH lấy điểm P. Gọi E là giao điểm của AP với MB. Gọi F là giao điểm của BP với MA.
a) CHứng minh MH là tia phân giác của góc AMB
b) Chứng minh MH là trung trực của đoạn EF
c) Chứng minh AF = BE
a) Xét \(\Delta MHA\) và \(\Delta MHB\) có:
\(HA=HB\) (\(H\) thuộc trung trực của \(AB\))
\(\widehat{MHA}=\widehat{MHB}=90^0\)
MH cạnh chung nên \(\Delta MHA=\Delta MHB\) (c.g.c)
\(\Rightarrow\widehat{AMH}=\widehat{BMH}\)
Vậy \(MH\) là phân giác của \(\widehat{AMB}\)
b) Trên cạnh \(MB\) ta lấy \(E\) sao cho: \(MF=ME'\)
Xét \(\Delta FMP\) và \(\Delta E'MP\) có:
\(MF=ME'\)
\(\widehat{FMP}=\widehat{E'MP}\) (do \(\widehat{AMH}=\widehat{BMH}\))
\(MP\) cạnh chung nên \(\Delta FMP=\Delta E'MP\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{FMP}=\widehat{E'MP}\) (1)
Gọi giao điểm của \(FE'\) với \(MH\) là \(K\)
Lại có \(\Delta PHA=\Delta PHB\) (c.g.c) (chứng minh tương tự như câu a)
\(\Rightarrow\widehat{APH}=\widehat{BPH}\)
Mà \(\widehat{APH}=\widehat{EPM}\) (đối đỉnh) và \(\widehat{BPH}=\widehat{FPM}\) (đối đỉnh)
\(\Rightarrow\widehat{FPM}=\widehat{EPM}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{EPM}=\widehat{E'PM}\) hay \(E\) trùng với \(E'\)
Do đó \(MF=ME\) (3)
Lại có \(PF=PE'\) (do \(\Delta FMP=\Delta E'MP\))
Nên \(PF=PE\) (4) (do \(E'\) trùng với \(E\))
Từ (3) và (4) suy ra \(MH\) hay \(MP\) là trung trực của đoạn \(EF\)
c) Ta có: \(AF=AM-FM\)
\(BI=BM-EM\)
Mà \(AM=BM\) (\(M\) thuộc trung trực \(AB\))
\(FM=EM\) (cmt)
\(\Rightarrow AF=BE\)
Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AM.
a) Chứng MB = MC
b) Kẻ MH ^ AB (HÎAB);MK ^ AC (K ÎAC). Chứng minh MH = MK và AM là đường trung
trực của đoạn thẳng HK
c) Lấy điểm E sao cho H là trung điểm của đoạn EM, lấy điểm F sao cho K là trung điểm của đoạn
thẳng FM. Chứng minh DAEF cân
d) Chứng minh FE // BC
Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AM.
a) Chứng minh MB=MC
b) Kẻ MH vuông góc với AB ( H thuộc AB) ; MK vuông góc với AC ( K thuộc AC). Chứng minh MH=MK và AM là đường trung trực của đoạn HK
c) Lấy điểm E sao cho H là trung điểm của đoạn EM, lấy điểm F sao cho K là trung điểm của đoạn thẳng FM. Chứng minh tam giác AEF cân
d) Chứng minh FE song song với BC
a) * Vì tam giác ABC cân tại A nên đường cao đồng thời là đường trung tuyến ( t/c )
=> AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC
=> M là trung điểm của BC => MB = MC = 1/2 BC
b)-Vì tam giác ABC cân nên góc B = góc C
Vì MH vuông góc AB, MJ vuông góc AC nên \(\widehat{MHB}=90^o;\widehat{MKC}=90^o\)
Xét tam giác MHB và tam giác MKC có :
góc MHB = góc MKC ( =90 độ )
MB = MC ( cm ở câu a )
góc B = góc C (cmt )
Suy ra : \(\Delta MHB=\Delta MKC\) ( cạnh huyền - góc nhọn )
=> MH = MK ( cặp cạnh tương ứng )
* Gọi I là giao điểm của AM và HK
Vì tam giác MHB = tam giác MKC ( cmt )
=> BH = CK ( cặp canh t/ư)
Mà AB = AC ( tam giác ABC cân tại A )
=> AB - BH = AC - CK
=> AH = AK
=> Tam giác AHK cân tại A ( d/h )
Vì tam giác ABC cân tại A nên đường cao đồng thời là đường phân giác
=> AM là tia phân giác của góc BAC
Hay AI là tia phân giác của góc BAC
- Vì tam giác AHK cân nên phân giác đồng thời là đường cao, đường trung tuyến (t/c)
=> AI là đường cao đồng thời là trung tuyến của tam giác AHK
=> AM vuông góc HK tại I và I là trung điểm của HK
=> AM là đường trung trực của HK ( d/h )
c ) * Vì MH vuông góc AB tại H, E thuộc MH nên AM vuông góc AB tại H
Mà H là trung điểm EM
=> AB là đường trung trực EM
=> AE = AM ( t/c )
Tương tự : AC là đường trung trực của MF
=> AF = AM (t/c)
Suy ra : AE = AF ( = AM )
=> Tam giác AEF cân tại A ( d/h )
Câu d ) Bạn gọi O là giao điểm của EF với AM
C/m : tam giác AEO = tam giá AFO
=> EO = OF
Tiếp tục sử dụng tính chất đặc biệt của tam giác cân như mấy câu trên là ra !!
P/s: Mk k giỏi Hình như giải dài dòng, bn thông cảm nhé
Cho đoạn thẳng AB, vẽ đường trung trực d lấy M ∈d. H là giao điểm của AB và d. Lấy P ∈MH. AP cắt MB ở E, BP cắt MA ở F
a, chứng minh MH là phân giác góc AMB
b, chứng minh MH là trung trực của EF
c, AF=BE
a) Xét $\Delta MHA$ và $\Delta MHB$ có:
$HA=HB$
$\widehat{MHA}=\widehat{MHB}=90^o$
$MH:chung$
$\Rightarrow \Delta MHA = \Delta MHB (c.g.c)$
$\Rightarrow \widehat{AMH}= \widehat{BMH}$ (2 góc tương ứng)
$\Rightarrow MH$ là phân giác $\widehat{AMB}$
b) Trên $MB$ lấy điểm $E'$ sao cho $MF=ME'$
Xét $\Delta FMP$ và $\Delta E'MP$ có:
$MF=ME'$
$\widehat{FMP}=\widehat{E'MP}$
$MP:chung$
$\Rightarrow \Delta FMP = \Delta E'MP(c.g.c)$
$\Rightarrow \widehat{FPM}=\widehat{E'PM}(1)$
Gọi giao điểm của $FE'$ với $MH$ là $K$
Chứng minh tương tự: $\Delta PHA = \Delta PHB(c.g.c)$
$\Rightarrow \widehat{APH}=\widehat{BPH}$
Mà $\widehat{APH}=\widehat{EPM}(đđ)$ và $\widehat{BPH}=\widehat{FPM}(đđ)$
$\Rightarrow \widehat{FPM}=\widehat{EPM}(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $\widehat{EPM}=\widehat{E'PM}$ hay\(E'\equiv E\)
Do đó $MF=ME(3)$
Lại có: $PF=PE'$ ($\Delta FMP =\Delta E'MP$)
Nên $PF=PE(4)$ (\(E'\equiv E\))
Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra: $MP$ hay $MH$ là trung trực của đoạn $EF$
Bạn tự vẽ hình nhé!
a)Xét △AHM và △BHM có:
AH=BH (gt)
∠AHM=∠BHM (=900)
HM chung
⇒△AHM = △BHM (cgc)
⇒∠AMH=∠BMH (2 góc tương ứng)
⇒MH là phân giác góc AMB
b)△AHM = △BHM (câu a)
⇒AM=BM (2 cạnh tương ứng) và ∠MAH=∠MBH (2 góc tương ứng)
Chứng minh tương tự, ta có:△AHP = △BHP (cgc)
⇒∠PAH=∠PBH (2 góc tương ứng)
Ta có:∠MAH=∠MBH; ∠PAH=∠PBH
⇒∠MAH-∠PAH=∠MBH-∠PBH
⇒∠MAE=∠MBF
Xét △MAE và △MBF có:
Góc M chung
MA=MB (cmt)
∠MAE=∠MBF (cmt)
⇒△MAE =△MBF (gcg)
⇒ME=MF (2 cạnh tương ứng)
Gọi giao điểm của FE và MH là I.
Xét △MFI và △MEI có:
FM=EM (cmt)
∠FMI=∠EMI (câu a)
MI chung
⇒△MFI =△MEI (cgc)
⇒∠FIM=∠EIM=\(\frac{180^0}{2}=90^0\) và FI=EI
⇒MH là trung trực của EF
c)AM=BM; FM=EM
⇒AM-FM=BM-EM
⇒AF=BE
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R . Điểm C cố định trên nửa đường tròn . Điểm M thuộc cung AC . Kẻ MH vuông góc với AB . Mb cắt CA tại E . Kẻ EI vuông góc với AB . Gọi K là giao điểm của AC và MH . CMR
a , tứ giác BHKC nội tiếp .
b , AK.AC = AM.AM , IE là phân giác của góc MIC
c , AE.AC + BE.BM không phụ thuộc vị trí điểm M
a) Xét (O) có
ΔCAB nội tiếp đường tròn(C,A,B∈(O))
AB là đường kính(gt)
Do đó: ΔCAB vuông tại C(Định lí)
⇔\(\widehat{ACB}=90^0\)
hay \(\widehat{KCB}=90^0\)
Xét tứ giác BHKC có
\(\widehat{BHK}\) và \(\widehat{KCB}\) là hai góc đối
\(\widehat{BHK}+\widehat{KCB}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)
Do đó: BHKC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
: Cho tam giác ABC có và tia phân giác BH ( H AC). Kẻ HM vuông góc với BC ( M BC). Gọi N là giao điểm của AB và MH. Chứng minh:
a) Tam giác ABH bằng tam giác MBH.
b) BH là đường trung trực của đoạn thẳng AM .
a) .
Xét tam giác ABH và tam giác MBH có :
AB = BH(BE là tia phân giác)
góc ABH = góc HBM(BE là tia phân giác)
BH cạnh chung
đo đó : tam giác ABH = tam giác MBH (c.g c) (1)
b)
Từ (1) suy ra:
tam giác ABM cân tại B mà BH là phân giác
=>BE là trung trực của đoạn thẳng AM
cho đoạn thẳng AB vẽ đường trung trực d lấy M ϵ d. H là giao điểm của AB và d. Lấy P ϵMH. AP cắt MB ở E, BP cắt MA ở F
a, Chứng minh MH là phân giác góc AMB
b, Cm MH là trung trực của EF
c, AF =BE
Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB=2R. Lấy một điểm C trên nửa đường tròn sao cho góc ABC=30 độ. Gọi P là giao điểm của tiếp tuyến tại A với nửa đường tròn đường thẳng BC.
a) CM: tam giác ABC vuông và PA^2=PB.PC
b) Từ P vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (O) tại M(M là tiếp điểm). CM: PO là đường trung trực của AM
C)PO cắt AM tại N. Tính PA , PO , AM theo R
d) Vẽ MH vuông góc AB tại H. Gọi I là giao điểm của PB và MH. Tính NI theo R
a) \(\widehat{ACB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat{ACB}=90^o\). Vậy tam giác ABC vuông tại C.
Xét tam giác vuông PAB có đường cao AC, áo dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:
\(PA^2=PC.PB\)
b) Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có PA = PM
Lại có OA = OM nên PO là trung trực của AM.
c) Ta có \(\widehat{CBA}=30^o\Rightarrow\widehat{CAB}=60^o\) hay tam giác CAO đều. Suy ra AC = R
Xét tam giác vuông PAB có đường cao AC, áo dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:
\(\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{AP^2}+\frac{1}{AB^2}\Rightarrow\frac{1}{R^2}=\frac{1}{AP^2}+\frac{1}{4R^2}\)
\(\Rightarrow AP=\frac{2R}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow PO=\sqrt{PA^2+AO^2}=\frac{\sqrt{21}R}{3}\)
Xét tam giác vuông PAO, đường cao AN, áo dụng hệ thức lượng ta có:
\(\frac{1}{AN^2}=\frac{1}{PA^2}+\frac{1}{AO^2}\Rightarrow AN=\frac{2\sqrt{7}R}{7}\)
\(\Rightarrow AM=2AN=\frac{4\sqrt{7}}{7}R\)
d) Kéo dài MB cắt AP tại E.
Ta thấy ngay tam giác EMA vuông có PM = PA nên PA = PE
Do MH // AE nên áo dụng định lý Ta let ta có:
\(\frac{HI}{AP}=\frac{IB}{PB}=\frac{MI}{EP}\)
Do AP = EP nên MI = HI
Ta cũng có N là trung điểm AM nên NI là đường trung bình tam giác AMH.
\(\Rightarrow NI=\frac{AH}{2}\)
Xét tam giác vuông AMB, đường cao MH, áp dụng hệ thức lượng ta có:
\(AH.AB=AM^2\Rightarrow AH=\frac{8}{7}R\)
\(\Rightarrow NI=\frac{4}{7}R\)
Cho (O) đường kính AB, vẽ tiếp tuyến By. Trên nửa đường tròn lấy điểm M sao cho MA<MB. Tiếp tuyến tại M cắt AB tại E, cắt By tại F. Kẻ MH vuông góc với AB. Chứng minh
1) Chứng minh OE.OH = R2
2) Chứng minh AM // OF
3) Gọi I là giao điểm của AF và MH. Chứng minh I là trung điểm của MH
Giúp em câu 3 với ạ, 2 câu trên em làm được rồi (dùng kiến thức học kỳ I thôi ạ)