Question

Trên đường trung trực d của đoạn thẳng AB lấy điểm M. Hạ MH \(\perp\) AB. Trên đoạn MH lấy điểm P. Gọi E là giao điểm của AP với MB. Gọi F là giao điểm của BP với MA.

a) CHứng minh MH là tia phân giác của góc AMB

b) Chứng minh MH là trung trực của đoạn EF

c) Chứng minh AF = BE

Answer 1

a) Xét \(\Delta MHA\) và \(\Delta MHB\) có:

\(HA=HB\) (\(H\) thuộc trung trực của \(AB\))

\(\widehat{MHA}=\widehat{MHB}=90^0\)

MH cạnh chung nên \(\Delta MHA=\Delta MHB\) (c.g.c)

\(\Rightarrow\widehat{AMH}=\widehat{BMH}\)

Vậy \(MH\) là phân giác của \(\widehat{AMB}\)

b) Trên cạnh \(MB\) ta lấy \(E\) sao cho: \(MF=ME'\)

Xét \(\Delta FMP\) và \(\Delta E'MP\) có:

\(MF=ME'\)

\(\widehat{FMP}=\widehat{E'MP}\) (do \(\widehat{AMH}=\widehat{BMH}\))

\(MP\) cạnh chung nên \(\Delta FMP=\Delta E'MP\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{FMP}=\widehat{E'MP}\) (1)

Gọi giao điểm của \(FE'\) với \(MH\) là \(K\)

Lại có \(\Delta PHA=\Delta PHB\) (c.g.c) (chứng minh tương tự như câu a)

\(\Rightarrow\widehat{APH}=\widehat{BPH}\)

Mà \(\widehat{APH}=\widehat{EPM}\) (đối đỉnh) và \(\widehat{BPH}=\widehat{FPM}\) (đối đỉnh)

\(\Rightarrow\widehat{FPM}=\widehat{EPM}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{EPM}=\widehat{E'PM}\) hay \(E\) trùng với \(E'\)

Do đó \(MF=ME\) (3)

Lại có \(PF=PE'\) (do \(\Delta FMP=\Delta E'MP\))

Nên \(PF=PE\) (4) (do \(E'\) trùng với \(E\))

Từ (3) và (4) suy ra \(MH\) hay \(MP\) là trung trực của đoạn \(EF\)

c) Ta có: \(AF=AM-FM\)

\(BI=BM-EM\)

Mà \(AM=BM\) (\(M\) thuộc trung trực \(AB\))

\(FM=EM\) (cmt)

\(\Rightarrow AF=BE\)