Đặt H là giao điểm của Oy và O'x'

Vì Ox//O'x'

=>\(\widehat{O_1}\)=\(\widehat{H_1}\)( đồng vị)

Vì Oy//O'y'

=>\(\widehat{H_1}\)=\(\widehat{O'_1}\)( đồng vị)

Do đó:\(\widehat{O_1}\)=\(\widehat{O'_1}\)

Vậy\(\widehat{xOy}=\widehat{x'O'y'}\)

ta có:abcdeg=abx10000+cdx100+eg

                    =abx9999xab+cdx99xcd+eg

                     =abx9999+cdx99+(ab+cd+eg)

vì 9999 chia hết cho 11=>ab:9999 chia hết cho 11

    99 chia hết cho11=>cd:99 chia hết cho 11

mà ab+cd+eg chia hết cho 11=>abx9999xab+cdx99xcd+eg

=>abcdeg chia hết cho 11(đpcm)

\(\overline{abcdeg}=10000.\overline{ab}+100.\overline{cd}+\overline{eg}=9999.\overline{ab}+99.\overline{cd}+\overline{ab}+\overline{cd}+\overline{eg}\)

\(=11\left(909.\overline{ab}+9.\overline{cd}\right)+\left(\overline{ab}+\overline{cd}+\overline{eg}\right)\)

Ta có \(11\left(909.\overline{ab}+9.\overline{cd}\right)\) và \(\overline{ab}+\overline{cd}+\overline{eg}\) chia hết cho 11 => \(\overline{abcdeg}\) chia hết cho 11

ab+cd+eg=10a+b+10c+d+10e+g

=11(a+c+e)-(b+d+g)+(a+c+e)

mà 1 chia hết cho 11=>10a+b+10c+d+10e+g chia hết cho 11

vậy ab+cd+eg chia hết cho 11 => abcdeg chia hết cho 11

\(sin\left(2a+b\right)=3sinb\)

\(\Leftrightarrow sin\left(a+a+b\right)=3sin\left(a+b-a\right)\)

\(\Leftrightarrow sina.cos\left(a+b\right)+cosa.sin\left(a+b\right)=3sin\left(a+b\right)cosa-3cos\left(a+b\right)sina\)

\(\Leftrightarrow4cos\left(a+b\right).sina=2sin\left(a+b\right)cosa\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2sina}{cosa}=\dfrac{sin\left(a+b\right)}{cos\left(a+b\right)}\)

\(\Leftrightarrow2tana=tan\left(a+b\right)\)

abc -deg chia hết cho 7

abcdeg=1000abc+deg=1001abc-abc+deg=1001abc-(abc-deg)

mà abc-deg chia hết cho 7

1001abc chia hết cho 7 vì 1001chia hết cho 7

vậy nếu abc-deg chia hết cho 7 thì abcdeg cũng chia hết cho 7

\(a^2+b^2+c^2+3=2\left(a+b+c\right)\\ < =>\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(c^2-2c+1\right)=0\\ < =>\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2=0\) (1)

Vì : \(\left(a-1\right)^2\ge0,\left(b-1\right)^2\ge0,\left(c-1\right)^2\ge0\forall a,b,c\in R\\ =>\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\)

Do vậy (1) xảy ra khi : \(a-1=b-1=c-1=0< =>a=b=c=1\) (DPCM)

\(a^2+b^2+c^2+3=2\cdot\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)\left(b^2-2b-1\right)\left(c^2-2c-1\right)+3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2=0\)

Với mọi \(a,b,c\) thì: \(\left(a-1\right)^2\ge0;\left(b-1\right)^2\ge0;\left(c-1\right)^2\ge0\)

Do đó: \(\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\)

Để: \(\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2=0\) (ta giải tìm a,b,c)

\(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

\(a^2+b^2+c^2+3=2a+2b+2c\)

\(\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(c^2-2c+1\right)=0\)

\(\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2=0\)

Với mọi a, b, c thì: \(\left(a-1\right)^2=0;\left(b-1\right)^2=0;\left(c-1\right)^2=0\)

Do đó: \(\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2=0\)

Thì: \(a-1=0;b-1=0;c-1=0\)

\(\Leftrightarrow a=b=c=1\) ( đpcm )

1 số lẻ chia 4 dư 1 hoặc 3

1 số lẻ n chia 4 dư 1 thì nó có dạng 4k+1

n²=(4k+1)(4k+1)=16k²+4k+4k+1 , chia 4 dư 1

1 số lẻ m chia 4 dư 3 thì nó có dạng 4k+3

m²=(4k+3)(4k+3)=16k²+3.4k+3.4k+9.    Vì 9 chia 4 dư 1 nên m² chia 4 dư 1

Vậy bình phương 1 số lẻ chia 4 luôn dư 1

Do đó a²+b²= 4q+1+4z+1=(4q+4z)+2, chia 4 dư 2

Số chính hpuowng chia 4 ko dư 2   =>ĐPCM

Lời giải:

Đặt $a-b=x; b-c=y, c-a=z$ thì $x+y+z=0$.

ĐKĐB tương đương với:

$x^2+y^2+z^2=(y-z)^2+(z-x)^2+(x-y)^2$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=2(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+xz)$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=2(xy+yz+xz)$
$\Leftrightarrow 2(x^2+y^2+z^2)=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)$

$\Leftrightarrow 2(x^2+y^2+z^2)=(x+y+z)^2=0$

$\Rightarrow x=y=z=0$

$\Leftrightarrow a-b=b-c=c-a=0$

$\Leftrightarrow a=b=c$ (ta có đpcm)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=x\\b-c=y\\c-a=z\end{matrix}\right.\) thì ta có \(x+y+z=0\). Điều kiện đã cho tương đương \(x^2+y^2+z^2=\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2+\left(x-y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=2\left(x^2+y^2+z^2\right)-2\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=2\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=4\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2=4\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow4\left(xy+yz+zx\right)=0\)

\(\Leftrightarrow xy+yz+zx=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=0\)

\(\Leftrightarrow x=y=z=0\)

\(\Leftrightarrow a-b=b-c=c-a=0\)

\(\Leftrightarrow a=b=c\)

Ta có đpcm

Thì sao chả có câu hỏi cả

thì sao chả hỏi cái gì cả

trước hết ta cm bài toán phụ. cho t/g ABC có góc BAC= 90độ. trên BC lấy điểm M sao cho M là trung điểm BC. (tự vẽ hình). Trên tia đối MA lấy điểm N sao cho MA= MN. sau khi làm xong, ta sẽ cm đc AN= BC dựa vào 2 t/g = nhau)

Trở lại bài toán. Ko mất tính tổng quát: Giả sử t/g mà đề bài cho là là t/g ABC, BAC= 90 độ, AB= 1/2 BC. Ta lấy M là trung điểm của BC hay MB= MC= 1/2 BC

=> AM= BM= MA

hay t/g ABM là t/g đều

=> góc ABM= 60 độ hay góc ABC = 60 độ (vì M thuộc BC)

Lại xét t/g ABC có: góc ABC+ góc CAB + góc ACB= 280 độ

                             hay 90 độ+ 60 độ + góc BCA = 180 độ

                                   => góc ACB = 30 độ

Mà góc ABC đối diện vs cạnh AB, AB= 1/2 BC (cạnh huyền)

=> ĐPCM