\(\left(a^2+b^2+c^2+1\right)x=ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2+1}\)

Ta có:

\(x^2-1=\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2+1\right)^2}-1=\dfrac{\left(ab+bc+ca-a^2-b^2-c^2-1\right)\left(ab+bc+ca+a^2+b^2+c^2+1\right)}{\left(a^2+b^2+c^2+1\right)^2}\)

\(=\dfrac{\left[-\left(a-b\right)^2-\left(b-c\right)^2-\left(c-a\right)^2-2\right]\left[\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2+2\right]}{4\left(a^2+b^2+c^2+1\right)^2}< 0\)

\(\Rightarrow x^2-1< 0\Rightarrow\left|x\right|< 1\)

Bài 1.

\(\left\{{}\begin{matrix}x-3y=5-2m\\2x+y=3\left(m+1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-3y=5-2m\\6x+3y=9m+9\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7x=7m+14\\x-3y=5-2m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m+2\\m+2-3y=5-2m\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m+2\\-3y=-3m+3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m+2\\y=m-1\end{matrix}\right.\)

\(x_0^2+y_0^2=9m\)

\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)^2+\left(m-1\right)^2=9m\)

\(\Leftrightarrow m^2+4m+4+m^2-2m+1-9m=0\)

\(\Leftrightarrow2m^2-7m+5=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=1\\m=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\) ( Vi-ét )

Do x₀ là nghiệm của phương tình x²-m(m+4)x+m²+2m-1=0 nên tồn tại m để x₀² -(m+4)x₀+m²+2m-1=0

<=> m²+(2-x₀)m+x₀²-4x₀ -1=0 có nghiệm

<=> (2-x₀)² -4(x₀²-4x₀-1) >=0

<=> -3x₀²+12x₀+8 >=0

<=> \(\frac{6-2\sqrt{15}}{3}\le x_0\le\frac{6+2\sqrt{15}}{3}\)

Tự xử lý phần dấu "="

Vì 1/2<>1/3

nên hệ luôn có nghiệm duy nhất

x+y=2 và 2x+3y=m

=>2x+2y=4 và 2x+3y=m

=>-y=4-m và x+y=2

=>y=m-4 và x=2-y=2-m+4=6-m

x+2y<5

=>6-m+2m-8<5

=>m-2<5

=>m<7

=>Có 6 số nguyên dương thỏa mãn