Cho 2 số a, c thõa mãn ac < 0. Xét hai pt \(\left\{{}\begin{matrix}ax^2+bx+c=0\left(1\right)\\cx^2+bx+a=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Gọi \(\alpha\)và \(\beta\) là hai nghiệm lớn nhất của (1) và (2). CMR: \(\alpha+\beta\ge2\)
\(Cm:x_1< \alpha< \beta< x_2\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a.f\left(\alpha\right)< 0\\a.f\left(\beta\right)< 0\end{matrix}\right.\)
Cho các số thực \(\alpha,\beta\)
và \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\left(a\ne0\right)\)
\(\left\{{}\begin{matrix}ax^2+bx+c>0\\bx^2+cx+a>0\\cx^2+ax+b>0\end{matrix}\right.\)
Cho \(ax^2+bx+c=0\) có nghiệm, \(f\left(x\right)=\alpha x^2+\beta x+\gamma\) \(\left(a.\alpha\ne0\right)\) có hai nghiệm và khoảng hai nghiệm đó chứa \(\left(0;2\right)\). Chứng minh \(a.f\left(0\right)x^2+b.f\left(1\right)x+c.f\left(2\right)=0\) có nghiệm
\(\)
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{^3\sqrt{ax+1}-\sqrt{1-bx}}{x}\left(1\right)\\3a-5b-1\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)khix\ne0\)
(2) \(khix=0\)
Tìm điều kiện của tham số a và b để hàm số trên liên tục tại điểm x=0
\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt[3]{ax+1}-\sqrt[]{1-bx}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{ax}{\sqrt[3]{\left(ax+1\right)^2}+\sqrt[3]{ax+1}+1}+\dfrac{bx}{1+\sqrt[]{1-bx}}}{x}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow0}\left(\dfrac{a}{\sqrt[3]{\left(ax+1\right)^2}+\sqrt[3]{ax+1}+1}+\dfrac{b}{1+\sqrt[]{1-bx}}\right)=\dfrac{a}{3}+\dfrac{b}{2}\)
Hàm liên tục tại \(x=0\) khi:
\(\dfrac{a}{3}+\dfrac{b}{2}=3a-5b-1\Leftrightarrow8a-11b=3\)
Cho \(\left\{{}\begin{matrix}a\ne0\\b^2-4ac< 2b-1\end{matrix}\right.\). Chứng minh hệ sau vô nghiệm:
\(\left\{{}\begin{matrix}ax^2+bx+c=y\\ay^2+by+c=z\\az^2+bz+c=x\end{matrix}\right.\)
Cho a,b,c thỏa điều kiện : \(\left\{{}\begin{matrix}c>0\\\left(c+a\right)^2< ab+bc-2ac\end{matrix}\right.\). Chứng minh \(ax^2+bx+c=0\)luôn có nghiệm
Lời giải:
Với $a=0$ thì pt trở thành: \(bx+c=0\)
\((c+a)^2< ab+bc-2ac\Leftrightarrow c^2< bc\Rightarrow c(c-b)< 0\Rightarrow 0< c< b\)
PT luôn có nghiệm \(x=\frac{-c}{b}\)
Với $a\neq 0$
Nếu \(ac<0\Rightarrow b^2-ac>0\Leftrightarrow \Delta>0\) nên pt \(ax^2+bx+c=0\) có nghiệm
Nếu \(ac>0, c>0\Rightarrow a>0\)
Ta có: \((c+a)^2< ab+bc-2ac< ab+bc\) do \(ac>0\)
\(\Leftrightarrow (c+a)^2< b(a+c)\)
Vì \(a>0, c>0\Rightarrow a+c>0\), chia 2 vế cho $a+c$ thu được:
\(0< c+a< b\Rightarrow \Delta'=b^2-4ac>(c+a)^2-4ac=(a-c)^2\geq 0\)
Do đó pt \(ax^2+bx+c=0\) có nghiệm
cho các số a,b,c thỏa điều kiện \(\left\{{}\begin{matrix}c>0\\\left(c+a\right)^2< ab+bc-2ac\end{matrix}\right.\) chứng minh rằng phương trình ax^2+bx+c=0 luôn luôn có nghiệm
Cho a,b,c (c≠0) các số đôi một khác nhau, biết : \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+ax+bx=0\\x^2+bx+ax=0\end{matrix}\right.\) có ít nhất 1 nghiệm chung
a)Tìm các nghiệm còn lại của 2 phương trình
b) CMR: các nghiệm còn lại của 2 phương trình là nghiệm của phương trình \(x^2+cx+ab=0_{ }\)
1. Xác định phương trình \(ax^2+bx+c=0\) a khác 0, a.b.c là các số và a+b=5. Biết rằng phương trình có hai nghiệm x1,x2 thõa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-4\\x_1x_2=-5\end{matrix}\right.\)
2. Cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\mx+y=m^2+3\end{matrix}\right.\) với m là tham số. Tìm m đề x+y nhỏ nhất
Bài 1:
Áp dụng hệ thức Viete của pt bậc 2 ta có:
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{-b}{a}\\ x_1x_2=\frac{c}{a}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{-b}{a}=-4(1)\\ \frac{c}{a}=-5(2)\end{matrix}\right.\)
Từ (1) \(\Rightarrow b=4a\). Mà \(a+b=5\) nên \(\Leftrightarrow a+4a=5\Leftrightarrow 5a=5\Leftrightarrow a=1\)
\(\Rightarrow b=4a=4\)
Từ \((2)\Rightarrow c=-5a=-5\)
Do đó PT là: \(x^2+4x-5=0\) (thử lại thấy thỏa mãn)
Bài 2:
\(\left\{\begin{matrix} x=2\\ mx+y=m^2+3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow 2m+y=m^2+3\)
\(\Leftrightarrow y=m^2-2m+3\)
Khi đó:
\(x+y=2+m^2-2m+3=m^2-2m+5\)
\(x+y=(m-1)^2+4\geq 4\) do \((m-1)^2\ge 0\forall m\in\mathbb{R}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(m=1\)
Do đó $x+y$ đạt min khi \(m=1\)
1)
Bài toán tương hệ : \(\left\{{}\begin{matrix}b^2-4c\ge0\\a+b=5\\\dfrac{-b}{a}=-4\\\dfrac{c}{a}=-5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2\ge4c\left(1\right)\\a+b=5\left(2\right)\\4a-b=0\left(3\right)\\5a+c=0\left(4\right)\end{matrix}\right.\)
(2) cộng (3) \(\Leftrightarrow5a=5\Leftrightarrow a=\dfrac{5}{5}=1\) thế vào (2) => b =4
thế vào (4) => c=-5 ; c <0 => (1) luôn đúng
Kết luận (không phải thử lai hành động vô nghĩa )
\(f\left(x\right)=x^2+4x-5\)
2)
\(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\mx+y=m^2+3\end{matrix}\right.\)\(\begin{matrix}\left(1\right)\\\left(2\right)\end{matrix}\)
thế (1) vào (2)
<=>\(y=m^2-2m+3=\left(m^2-2m+1\right)+2=\left(m-1\right)^2+2\)
x hằng số => x+y nhỏ nhất khi y nhỏ nhất
có (m-1)^2 >=0 đẳng thức khi m =1
=> y nhỏ nhất => m =1
kết luận :
m =1
bài bắt tìm "m" => để (x+y ) nhỏ nhất không bắt tính (x+y) do đâu cần biểu thức (x+y) phức tạp thêm vô bỏ