Tìm GTNN của:
\(A=\left|x-a\right|+\left|x-b\right|+\left|x-c\right|+\left|x-d\right|\) với \(a< b< c< d\)
Ta có: |a-x|+|b-x|+|x-c|+|x-d|>=|a-x+b-x+x-c+x-d|=|a+b-c-d|=|(a-c)+(b-d)|
mà a<c;b<d nên |(a-c)+(b-d)|=-(a-c)-(b-d)
Vậy GTNN của |a-x|+|b-x|+|x-c|+|x-d| là -(a-c)-(b-d)
Cho a,b,c,d là các số dương. Tìm GTNN của biểu thức \(A=\left|x-a\right|+\left|x-b\right|+\left|x-c\right|+\left|x-d\right|\)
CMR : \(\frac{b+c+d}{\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(d-a\right)\left(x-a\right)}+\frac{c+d+a}{\left(c-d\right)\left(d-b\right)\left(a-b\right)\left(x-b\right)}+\frac{d+a+b}{\left(d-c\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(x-c\right)}\)\(+\frac{a+b+c}{\left(a-d\right)\left(b-d\right)\left(c-d\right)\left(x-d\right)}\)\(=\frac{x-a-b-c-d}{\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)\left(x-d\right)}.\)
\(\frac{b+c+d}{\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(d-a\right)\left(x-a\right)}=\frac{\left(a+b+c+d-x\right)+\left(x-a\right)}{\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(d-a\right)\left(x-a\right)}\)\(=\frac{\left(a+b+c+d-x\right)}{\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(d-a\right)\left(x-a\right)}+\frac{1}{\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(d-a\right)}\)
Áp dụng hoán vị vòng \(b\rightarrow c\rightarrow d\rightarrow a\rightarrow b\) vào VT , ta được :
\(\left(a+b+c+d-x\right)\)[\(\frac{1}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(a-d\right)\left(a-x\right)}+\frac{1}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)\left(b-d\right)\left(b-x\right)}+\frac{1}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)\left(c-d\right)\left(c-x\right)}\)\(+\frac{1}{\left(d-a\right)\left(d-b\right)\left(d-c\right)\left(d-x\right)}\).
Quy đồng mẫu thức và tính toán biểu thức trong [ ] ta được :
\(\frac{-1}{\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)\left(x-d\right)}\)
Vậy ...............
Cho 5 số thực khác nhau a,b,c,d,x.Chứng minh :
\(\frac{b+c+d}{\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(d-a\right)\left(x-a\right)}+\frac{a+c+d}{\left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(d-b\right)\left(x-b\right)}+\frac{a+b+d}{\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(d-c\right)\left(x-c\right)}+\)
\(\frac{a+b+c}{\left(a-d\right)\left(b-d\right)\left(c-d\right)\left(x-d\right)}=\frac{a+b+c+d-x}{\left(a-x\right)\left(b-x\right)\left(c-x\right)\left(d-x\right)}\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của A biết :
\(A=\left|x-a\right|+\left|x-b\right|+\left|x-c\right|+\left|x-d\right|\) với a < b < c < d
Bài 1: Tìm số nguyên x sao cho: \(\left(x^2-1\right)\left(x^2-4\right)\left(x^2-7\right)\left(x^2-10\right)< 0\)
Bài 2: Tìm GTNN của: \(A=\left|x-a\right|+\left|x-b\right|+\left|x-c\right|+\left|x-d\right|\) với \(a< b< c< d\)
Bài 1:
Ta có : \(\left(x^2-1\right)\left(x^2-4\right)\left(x^2-7\right)\left(x^2-10\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(x^2-1\right)\left(x^2-10\right)\right].\left[\left(x^2-4\right)\left(x^2-7\right)\right]< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^4-11x^2+10\right)\left(x^4-11x^2+28\right)< 0\)
Đặt \(y=x^4-11x^2+19\), ta có : \(\left(y-9\right)\left(y+9\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow y^2< 81\Leftrightarrow-9< y< 9\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y>-9\left(1\right)\\y< 9\left(2\right)\end{cases}}\)
Giải (1) được : \(x^4-11x^2+28>0\) \(\Leftrightarrow\left(x^2-7\right)\left(x^2-4\right)>0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2>7\\x^2< 4\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x>\sqrt{7}\\x< -\sqrt{7}\end{cases}}\)hoặc \(-2< x< 2\)
Giải (2) được :
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2< 1\\x^2>10\end{cases}}\)(loại) hoặc \(1< x^2< 10\)(nhận)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2>1\\x^2< 10\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x< -1\\x>1\end{cases}}\)và \(-\sqrt{10}< x< \sqrt{10}\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}-\sqrt{10}< x< -1\\1< x< \sqrt{10}\end{cases}}\)
Kết hợp (1) và (2) : \(-2< x< -1\);;\(1< x< 2\); \(\sqrt{7}< x< \sqrt{10}\); \(-\sqrt{10}< x< -\sqrt{7}\)
Suy ra các giá trị nguyên của x là : \(x\in\left\{-3;3\right\}\)
Bài 1:
Có: \(x^2-10< x^2-7< x^2-4< x^2-1\)
Để tích trên < 0
: \(\left(x^2-1\right);\left(x^2-4\right);\left(x^2-7\right)\)cùng dương và \(\left(x^2-10\right)\)âm
\(\Rightarrow x^2-10< 0\)và\(x^2-7>0\)
\(\Rightarrow x^2< 10\)và \(x^2>7\)
\(\Rightarrow7< x^2< 10\)
\(\Rightarrow x^2=9\Rightarrow x=+;-3\)
Câu hỏi của Bui Cam Lan Bui - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
Tìm GTNN của:
a) A = \(\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+\left|x-3\right|+\left|x-4\right|+\left|x-5\right|\)
b) B = \(\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+\left|x-3\right|+\left|x-4\right|+\left|x-5\right|+\left|x-6\right|\)
c) C = \(\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+...+\left|x-n\right|\)( n là số lẻ )
d) D = \(\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+...+\left|x-n\right|\)( n là số chẵn )
Tìm giá trị nhỏ nhất của A: \(\left|x-a\right|+\left|x-b\right|+\left|x-c\right|+\left|x-d\right|\) với \(a
ta có \(\left|x-a\right|+\left|x-b\right|+\left|x-c\right|+\left|x-d\right|\ge\left|\left(x-a\right)+\left(x-b\right)+\left(c-x\right)+\left(d-x\right)\right|=\left|c+d-a-b\right|=c+d-a-b\)( do a<b<c<d => c-a>0 và d-b>0)
vậy Min A= c+d-a-b
Chứng minh đẳng thức
a) \(\left(x-y\right)-\left(x-z\right)=\left(z+x\right)-\left(y+x\right)\)
b) \(\left(x-y+z\right)-\left(y+z-x\right)-\left(x-y\right)=\left(z-y\right)-\left(z-x\right)\)
c) \(a\left(b+c\right)-b\left(a-c\right)=\left(a+b\right)c\)
d) \(a\left(b-c\right)-a\left(b+d\right)=-a\left(c+d\right)\)
e) \(\left(a+b\right)\left(c+d\right)-\left(a+d\right)\left(b+c\right)=\left(a-c\right)\left(d-b\right)\)
f) \(\left(a-c\right)\left(b+d\right)-\left(a-d\right)\left(b+c\right)=\left(a+b\right)\left(d-c\right)\)
a. VT:(x-y)-(x-z)
= x-y-x+z
= z-y
VP:(z+x)-(y+x)
=z+x-y-x
=z-y
=> VT=VP => đpcm.
b. VT:(x-y+z)-(y+z-x)-(x-y)
= x-y+z-y-z+x-x+y
= x-y
VP:(z-y)-(z-x)
= z-y-z+x
= x-y
=> VT=VP => đpcm.
c. VT: a(b+c)-b(a-c)
=ab+ac-ab+bc
= ac+bc
VP: (a+b)c
= ac+bc
=> VT=VP => đpcm.
d. VT: a(b-c)-a(b+d)
= ab-ac-ab-ad
= -ac-ad
VP: -a(c+d)
= -ac-ad
=> VT=VP => đpcm
tương tự...