a) Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước là a, y, z. Tính thể tích hình cầu (S) ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đó ?
b) Trong số những hình hộp chữ nhật nội tiếp hình cầu (S) cho trước hình hộp nào có thể tích lớn nhất ?
Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a, b, c. Gọi (S) là mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp chữ nhật đó. Diện tích của hình cầu (S) theo a, b, c bằng
A. π 2 a 2 + b 2 + c 2
B. 4 π a 2 + b 2 + c 2
C. π a 2 + b 2 + c 2
D. 2 π a 2 + b 2 + c 2
Mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp chữ nhật có tâm là tâm của hình hộp chữ nhật đó và có bán kính bằng nửa độ dài đường chéo của hình hộp
Diện tích của hình cầu đó là:
Chọn: C
I. Trắc nghiệm ( 6 điểm)
Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a, b,c. Gọi (S) là mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp chữ nhật đó. Tính diện tích của hình cầu (S) theo a, b, c.
A. π a 2 + b 2 + c 2
B. 2 π a 2 + b 2 + c 2
C. 4 π a 2 + b 2 + c 2
D. π 2 a 2 + b 2 + c 2
Chọn A.
Tâm của mặt cầu chính là tâm của của hình hộp chữ nhật.
Đường kính của mặt cầu (S) chính là đường chéo của hình hộp chữ nhật.
Mà độ dài đường chéo của hình chữ nhật là nên mặt cầu (S) có bán kính
Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước chiều dài, chiều rộng và chiều cao tương ứng là 4;3;2. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình hộp.
A. V = 29 π 6 .
B. V = 29 π 29 6 .
C. V = π 29 3
D. V = 29 π 6 .
Đáp án B
Gọi O và O’ là tâm hai đáy như hình vẽ, I là trung điểm của OO’ khi đó I là tâm khối cầu ngoại tiếp hình hộp ABCD.A′B′C′D′.
Bán kính R=IA.
R = O A 2 + O I 2 = A C 2 2 + c 2 2 = 1 2 a 2 + b 2 + c 2
Thay số
Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình hộp là V = 4 3 π R 3 = 29 π 29 6 .
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=2a, BC=a. Biết bán kính của mặt cầu ngoại tiếp của hình hộp chữ nhật là 3a/2. Thể tích của hình hộp chữ nhật là:
A. a 3 3 2
B. 4 a 3
C. 2 a 3
D. 2 3 a 3
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=a, AA'=2a Biết thể tích hình cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD' là 9 π a 3 2 Tính thể tích V của hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AA' = 2a. Biết thể tích hình cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD' là 9 πa 3 2 . Tính thể tích V của hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'.
A. V = 9 a 3 4
B. V = 4 a 3
C. V = 4 a 3 3
D. V = 2 a 3
Đáp án B
Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD’ chính là thể tích khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Khi đó, bán kính khối cầu ngoại tiếp là R = A C ' 2 .
Ta có V = 4 3 πR 3 = 4 3 π . AC ' 3 8 = 9 2 πa 3 ⇒ AC ' 3 = 27 a 3 ⇒ AC ' = 3 a .
Mặt khác A C ' 2 = A B 2 + A D 2 + A A ' 2 ⇒ A D 2 = ( 3 a 2 ) - a 2 - ( 2 a ) 2 = 4 a 2 ⇒ A D = 2 a .
Vậy thể tích của hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' là V = A A ' . A B . A D = a . 2 a . 2 a = 4 a 3 .
Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có ba kích thước 1, 2, 3 là
Cho hình hộp chữ nhật A B C D . A ' B ' C ' D ' có A B = 2 a , B C = a Biết bán kính của mặt cầu ngoại tiếp của hình hộp chữ nhật là 3 a 2 Thể tCho hình hộp chữ nhậích của hình hộp chữ nhật là
A. a 3 3 2
B. 4 a 3
C. 2 a 3
D. 2 3 a 3
Đáp án B
Ta có: A C = A B 2 + B C 2 = a 5
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là 3 a 2 ⇒ A C ' = 3 a
Xét tam giác A C C ' vuông tại C, ta có: C C ' = A C ' 2 - A C 2 = 2 a
Thể tích hình hộp là:
V = C C ' . S A B C D = 2 a . a . 2 a = 4 a 3
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=a, AD=2a, AA'=3a. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' là