Đặt \(A=2^{2023}+23n=8.2^{2020}+23n=8.\left(2^5\right)^{404}+23n=8.32^{404}+23n\)

Do \(32\equiv1\left(mod31\right)\Rightarrow32^{404}\equiv1\left(mod31\right)\)

\(\Rightarrow8.32^{404}\equiv8\left(mod31\right)\)

\(\Rightarrow A\) chia hết cho 31 khi và chỉ khi \(23n+8\) chia hết 31

\(\Rightarrow n=1\) là giá trị nhỏ nhất thỏa mãn

Ta có: \(\dfrac{23n^2-1}{35}\in Z\)

\(\Rightarrow23n^2-1=35k\left(k\in Z\right)\)

\(\Rightarrow23n^2=35k+1\)

Mà 35k + 1 chia cho 5 hoặc 7 đều dư 1 nên 23n² chia cho 5 hoặc 7 đều dư 1

Hay n không chia hết cho 5, 7

Vậy \(\dfrac{n}{5},\dfrac{n}{7}\) là các phân số tối giản

\(3^{n+2}\) + \(3^n\) = \(3^n\) x 10 Tận cùng = số 0

Cộng 4 tận cùng là số 4

a) 2711 > 818

b) 1619 > 825

c) 6255 > 1257

d) 536 < 1124

e) 32n > 23n

f) 354 > 281

Vì 51 có tận cùng là 1 nên 51ⁿ có tận cùng 1 (...1)

Xét: 47¹=...7   (1)

       47²=...9   (2)

       47³=...3   (3)

       47⁴=...1    (1)

          ............

       47¹⁰²=...9 (3)

A= 51ⁿ+47¹⁰²= ...1 +...9=...0

Vậy số tận cùng của A là 0 nhé

Ta có:51ⁿ luôn có chữ số tận cùng là 1  (1)

47¹⁰²=47^4.25+2=47^4.25.47²

Vì 47⁴ có chữ số tận cùng là 1 =>(47⁴)²⁵ có chữ số tận cùng là 1

47² có chữ số tận cùng là 9

=>47^4.25.47² có tận cùng là chữ số 9 hay 47¹⁰² có chữ số tận cùng là 9   (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

A=51ⁿ+47¹⁰² có chữ số tận cùng là 0

Vậy A=51ⁿ+47¹⁰²  có chữ số tận cùng là 0