Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
Momozono Nanami
Xem chi tiết
tth_new
3 tháng 6 2019 lúc 18:39

Em thử ạ!Em không chắc đâu.Hơi quá sức em rồi

Ta có: \(VT=\Sigma\frac{x^3}{z+y+yz+1}=\Sigma\frac{x^3}{z+y+\frac{1}{x}+1}\)

\(=\Sigma\frac{x^4}{xz+xy+1+x}=\frac{x^4}{xy+xz+x+1}+\frac{y^4}{yz+xy+y+1}+\frac{z^4}{zx+yz+z+1}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel,suy ra:

\(VT\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{\left(x+y+z\right)+2\left(xy+yz+zx\right)+3}\)

\(\ge\frac{\left(\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\right)^2}{\left(x+y+z\right)+\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)^2+3}\) (áp dụng BĐT \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3};ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\))

Đặt \(t=x+y+z\ge3\sqrt{xyz}=3\) Dấu "=" xảy ra khi x = y = z

Ta cần chứng minh: \(\frac{\frac{t^4}{9}}{\frac{2}{3}t^2+t+3}\ge\frac{3}{4}\Leftrightarrow\frac{t^4}{9\left(\frac{2}{3}t^2+t+3\right)}=\frac{t^4}{6t^2+9t+27}\ge\frac{3}{4}\)(\(t\ge3\))

Thật vậy,BĐT tương đương với: \(4t^4\ge18t^2+27t+81\)

\(\Leftrightarrow3t^4-18t^2-27t+t^4-81\ge0\)

Ta có: \(VT\ge3t^4-18t^2-27t+3^4-81\)

\(=3t^4-18t^2-27t\).Cần chứng minh\(3t^4-18t^2-27t\ge0\Leftrightarrow3t^4\ge18t^2+27t\)

Thật vậy,chia hai vế cho \(t\ge3\),ta cần chứng minh \(3t^3\ge18t+27\Leftrightarrow3t^3-18t-27\ge0\)

\(\Leftrightarrow3\left(t^3-27\right)-18\left(t-3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(3t^2+9t+27\right)-18\left(t-3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(3t^2+9t+9\right)\ge0\)

BĐT hiển nhiên đúng,do \(t\ge3\) và \(3t^2+9t+9=3\left(t+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{9}{4}\ge\frac{9}{4}>0\)

Dấu "=" xảy ra khi t = 3 tức là \(\hept{\begin{cases}x=y=z\\xyz=1\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Chứng minh hoàn tất

tth_new
3 tháng 6 2019 lúc 18:44

Em sửa chút cho bài làm ngắn gọn hơn.

Khúc chứng minh: \(4t^4\ge18t^2+27t+81\)

\(\Leftrightarrow4t^4-18t^2-27t-81\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(4t^3+12t^2+18t+27\right)\ge0\)

BĐT hiển nhiên đúng do \(t\ge3\Rightarrow\hept{\begin{cases}t-3\ge0\\4t^3+12t^2+18t+27>0\end{cases}}\)

Còn khúc sau y chang :P Lúc làm rối quá nên không nghĩ ra ạ!

Trần Phúc Khang
4 tháng 6 2019 lúc 10:48

Áp dụng BĐT cosi ta có

\(\frac{x^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{1+z}{8}+\frac{1+y}{8}\ge\frac{3}{4}x\)

\(\frac{y^3}{\left(1+x\right)\left(1+z\right)}+\frac{1+x}{8}+\frac{1+z}{8}\ge\frac{3}{4}y\)

\(\frac{z^3}{\left(1+y\right)\left(1+x\right)}+\frac{1+y}{8}+\frac{1+x}{8}\ge\frac{3}{4}z\)

Khi đó 

\(VT\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{1}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{4}=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{4}\)

Mà \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\)

=> \(VT\ge\frac{3}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\)(ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1

Aquarius Love
Xem chi tiết
zZz Cool Kid_new zZz
22 tháng 6 2020 lúc 10:25

Theo AM - GM và Bunhiacopski ta có được 

\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2};\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge\frac{2}{xy}\ge\frac{8}{\left(x+y\right)^2}\)

Khi đó \(LHS\ge\left[\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+z^2\right]\left[\frac{8}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1}{z^2}\right]\)

\(\)\(=\left[\frac{1}{2}+\left(\frac{z}{x+y}\right)^2\right]\left[8+\left(\frac{x+y}{z}\right)^2\right]\)

Đặt \(t=\frac{z}{x+y}\ge1\)

Khi đó:\(LHS\ge\left(\frac{1}{2}+t^2\right)\left(8+\frac{1}{t^2}\right)=8t^2+\frac{1}{2t^2}+5\)

\(=\left(\frac{1}{2t^2}+\frac{t^2}{2}\right)+\frac{15t^2}{2}+5\ge\frac{27}{2}\)

Vậy ta có đpcm

Khách vãng lai đã xóa
tth_new
23 tháng 6 2020 lúc 10:32

Ta có:

\(VT-VP=\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(\Sigma xy\right)\left(\Sigma x\right)\left[z\left(x+y\right)-xy\right]\left(z-x-y\right)}{x^2y^2z^2\left(x+y\right)^2}+\frac{\left(x-y\right)^2\left(2x+y\right)^2\left(x+2y\right)^2}{2x^2y^2\left(x+y\right)^2}\ge0\)

Vì \(z\left(x+y\right)-xy\ge\left(x+y\right)^2-xy\ge4xy-xy>0\) 

Khách vãng lai đã xóa
Dương Thiên Tuệ
Xem chi tiết
Trịnh Quỳnh Nhi
Xem chi tiết
ngoc bich 2
Xem chi tiết
tth_new
3 tháng 8 2019 lúc 14:54

Nhân 8 vào hai vế:

Cần chứng minh \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right).2x.2y.2z\le\frac{64}{729}\)

Áp dụng BĐT Cô si ngược cho 6 số dương (tự c/m:v) vào VT ta có đcpm.

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1/3

ngoc bich 2
3 tháng 8 2019 lúc 15:27

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ngược là sao ạ? Bạn ví dụ cụ thể với....

tth_new
3 tháng 8 2019 lúc 17:37

ngoc bich 2              em vd với hai số cho nó dễ nhé, 6 số tương tự thôi :D Theo cách em hiểu thôi! 

Ta có BĐT \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) thì ngược tức là đảo vế lại: \(\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}\). Có gì sai mọi người góp ý giúp em ạ!

Emilia Nguyen
Xem chi tiết
Võ Hồng Phúc
1 tháng 12 2019 lúc 19:26

Ta có:

\(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow x^2+y^2-xy\ge xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\ge xy\left(x+y\right)\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^3+y^3+xyz}\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+xyz}=\frac{1}{x+y+z}.\frac{1}{xy}\)

Tương tự: \(\frac{1}{y^3+z^3+xyz}\le\frac{1}{x+y+z}.\frac{1}{yz}\) ;\(\frac{1}{z^3+x^3+xyz}\le\frac{1}{x+y+z}.\frac{1}{zx}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^3+y^3+xyz}+\frac{1}{y^3+z^3+xyz}+\frac{1}{z^3+x^3+xyz}\)

\(\le\frac{1}{x+y+z}.\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)=\frac{x+y+z}{\left(x+y+z\right)xyz}=\frac{1}{xyz}\)

Dấu \(=\) xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z>0\)

Khách vãng lai đã xóa
Chung Nguyen
Xem chi tiết
lê duy mạnh
1 tháng 12 2019 lúc 16:40

AD BĐT X^3+Y^3>=XY(X+Y) LÀ RA

Khách vãng lai đã xóa
zZz Cool Kid_new zZz
1 tháng 12 2019 lúc 18:56

Có BĐT phụ:

\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\Leftrightarrow a^3-a^2b+b^3-ab^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)

Áp dụng

\(\frac{1}{x^3+y^3+xyz}+\frac{1}{y^3+z^3+xyz}+\frac{1}{x^3+z^3+xyz}\)

\(\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+xyz}+\frac{1}{yz\left(y+z\right)+xyz}+\frac{1}{zx\left(z+x\right)+xyz}\)

\(=\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{zx\left(x+y+z\right)}\)

\(=\frac{1}{xyz}\)

Khách vãng lai đã xóa
Bui Huu Manh
Xem chi tiết

3 + (x²/y² + y²/x²) + (x²/z² + y²/z²) + (z²/x² + z²/y²) 
x²/y² + y²/x² ≥ 2 (Theo AM - GM) 
Nên A ≥ 5 + (x²/z² + y²/z²) + (z²/x² + z²/y²) 
Sử dụng 2 BĐT quen thuộc sau: 
a² + b² ≥ (1/2)*(a + b)² 
1/a + 1/b ≥ 4/(a + b) 

Khách vãng lai đã xóa

Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Nghệ An năm 2014

https://thi.tuyensinh247.com/de-thi-vao-lop-10-mon-toan-tinh-nghe-an-nam-2014-c29a17566.html

Vào đó xem cho nó full :)))

Khách vãng lai đã xóa
Trần Lâm Thiên Hương
Xem chi tiết
Riio Riyuko
16 tháng 5 2018 lúc 22:18

\(\Sigma\dfrac{a^2}{\left(2a+b\right)\left(2a+c\right)}=\Sigma\left(\dfrac{1}{9}.\dfrac{a^2\left(2+1\right)^2}{2a.\left(\Sigma a\right)+2a^2+bc}\right)\le\Sigma\left(\dfrac{1}{9}.\dfrac{4a^2}{2a\left(\Sigma a\right)}+\dfrac{1}{9}.\dfrac{a^2}{2a^2+bc}\right)\)

\(=\Sigma\left(\dfrac{1}{9}.\left(\dfrac{2a}{\Sigma a}+\dfrac{a^2}{2a^2+bc}\right)\right)=\dfrac{1}{9}\left(2+\Sigma\dfrac{a^2}{2a^2+bc}\right)\)

Cần chứng minh \(\Sigma\frac{a^2}{2a^2+bc}\le1\)

<=> \(\Sigma\frac{bc}{2a^2+bc}\ge1\)         (*)

Đặt (x;y;z) ------->  \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\)

Suy ra (*)  <=>  \(\Sigma\frac{x^2}{x^2+2xy}\ge1\Leftrightarrow\frac{\Sigma x^2}{\Sigma x^2}\ge1\) (đúng)

Vậy \(\Sigma\frac{a^2}{2a^2+bc}\le1\)

Suy ra \(\Sigma\frac{a^2}{\left(2a+b\right)\left(2a+c\right)}\le\frac{1}{9}\left(2+\Sigma\frac{a^2}{2a^2+bc}\right)\le\frac{1}{9}\left(2+1\right)=\frac{1}{3}\)

Đẳng thức xảy ra <=> x = y = z = 1 

Riio Riyuko
16 tháng 5 2018 lúc 22:19

Nguồn : Trần Thắng