Cho đa thức \(f_{\left(x\right)}=2000x^2-bx+1\) . Xác định hệ số \(b\) biết rằng khi chia đa thức \(f_{\left(x\right)}\) cho x-10 và x+10 đều có cùng số dư
a) Tìm đa thức \(f_{\left(x\right)}=x^2+ax+b\) , biết khi chia \(f_{\left(x\right)}\) cho \(x+1\) thì dư là \(6\), còn khi chia cho \(x-2\) thì dư là \(3\)
b) Cho đa thức \(f_{\left(x\right)}=x^4-3x^3+bx^2+ax+b\) ; \(g_{\left(x\right)}=x^2-1\)
Tìm các hệ số của \(a;b\) để \(f_{\left(x\right)}\) chia hết cho \(g_{\left(x\right)}\)
a)ta có:
\(f\left(x\right):\left(x+1\right)\: dư\: 6\Rightarrow f\left(x\right)-6⋮\left(x+1\right)\\ hay\: 1-a+b-6=0\\ \Leftrightarrow b-a-5=0\Leftrightarrow b-a=5\left(1\right)\)
tương tự: \(2^2+2a+b-3=0\\ 2a+b=-1\left(2\right)\)
từ (1) và(2) => \(\left\{{}\begin{matrix}b-a=5\\2a+b=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-2\\b=3\end{matrix}\right.\)
Câu a :
Theo đề bài ta có hệ phương trình :
\(\left\{{}\begin{matrix}f\left(-1\right)=1-a+b=6\\f\left(2\right)=4+2a+b=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-a+b=5\\2a+b=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-2\\b=3\end{matrix}\right.\)
Vậy đa thức \(f\left(x\right)=x^2-2x+3\)
\(f\left(x\right)⋮g\left(x\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1^4-3.1^3+b.1^2+a.1+b=0\\\left(-1\right)^4-3.\left(-1\right)^3+b.\left(-1\right)^2+a.\left(-1\right)+b=0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2b+a=2\\2b-a=-4\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
cho đa thức \(f_{\left(x\right)}\) bậc 4 và \(f_{\left(x\right)}=Z_{\left[x\right]}\) biết rằng \(f_{\left(x\right)}\)⋮7 với mọi x∈Z.Cmr các hệ số của fx đều chia hết cho 7
Đa thức\(f_{\left(x\right)}\) chia x-2 dư 5 ; chia x-3 dư 7
Tìm số dư của đa thức \(f_{\left(x\right)}\) khi chia cho (x - 2)(x - 3)
Cho đa thức \(A\left(x\right)=ãx^2+bx+c\)
.Xác định b biết khi chia đa thức A(x) cho (x+1) và (x-1) đều có cùng số dư
Gọi r là số dư
Ta có: A(x)=B(x).(x+1)+r
A(x)=C(x).(x-1)+r
=> A(1)=a+b+c=C(x).0+r=> a+b+c=r (1)
A(-1)=a-b+c =B(x).0+r=> a-b+c=r (2)
lẤY (1)-(2) ta có: 2b=0=> b=0
Xác định các hệ số a, b, c sao cho đa thức: \(f\left(x\right)=2x^4+ax^2+bx+c\) chia hết cho đa thức x-2 và khi chia cho đa thức: \(x^2-1\) thì có dư là x
Vì \(f\left(x\right)⋮x-2;f\left(x\right):x^2-1\) dư 1\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(x\right)=g\left(x\right)\cdot\left(x-2\right)\\f\left(x\right)=q\left(x\right)\left(x^2-1\right)+x=q\left(x\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)+x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(2\right)=0\\f\left(1\right)=1\\f\left(-1\right)=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}32+4a+2b+c=0\\2+a+b+c=1\\2+a-b+c=-1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a+2b+c=-32\left(1\right)\\a+b+c=-1\left(2\right)\\a-b+c=-3\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Trừ từng vế của (2) cho (3) ta được:
\(\Rightarrow2b=2\Rightarrow b=1\)
Thay b=1 vào lần lượt (1) ,(2),(3) ta được:
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a+2+c=-32\\a+1+c=-1\\a-1+c=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a+c=-34\\a+c=-2\\a+c=-2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a+c=-34\left(4\right)\\a+c=-2\left(5\right)\end{matrix}\right.\)
Trừ từng vế của (4) cho (5) ta được:
\(\Rightarrow3a=-32\Rightarrow a=-\dfrac{32}{3}\Rightarrow c=-2+\dfrac{32}{3}=\dfrac{26}{3}\) Vậy...
cho đa thức \(f_{\left(x\right)}=ax^2+bx+c\) ,biết rằng \(29a+2c=3b\) .
Chứng minh rằng : \(f_{\left(2\right)}.f_{\left(-5\right)}\le0\)
Ta có: \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(2\right)=a\cdot2^2+2b+c=4a+2b+c\\f\left(-5\right)=a\cdot\left(-5\right)^2-5b+c=25a-5b+c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow f\left(2\right)\cdot f\left(-5\right)=\left(4a+2b+c\right)\left(25a-5b+c\right)\)
Lại có:\(25a-5b+c=29a+2c-c-4a-5b\)
\(=3b-c-4a-5b=-2b-c-4a=-\left(4a+2b+c\right)\)
\(\Rightarrow f\left(2\right)\cdot f\left(-5\right)=-\left(4a+2b+c\right)\left(4a+2b+c\right)\)
\(=-\left(4a+2b+c\right)^2\le0\forall a,b,c\)
=> Q(2)=a2^2+2b+c=4a+2b+c
Q(-1)=a(-1)^2+(-1)b+c=a-b+c
Ta có: 4a+2b+c=5a+b+2c-a+b-c=0-a+b-c=-a+b-c
=>Q(2).Q(-1)=(4a+2b+c).(a-b+c)=(-a+b-c).(a-b+c)=-(a-b+c).(a-b+c)≤ 0 với mọi a,b,c
Nhầm đây mới là câu trả lời:
Ta có:Q(x)=ax2+bx+x
=>Q(2)=a2^2+2b+c=4a+2b+c
Q(-1)=a(-1)^2+(-1)b+c=a-b+c
Ta có: 4a+2b+c=5a+b+2c-a+b-c=0-a+b-c=-a+b-c
=>Q(2).Q(-1)=(4a+2b+c).(a-b+c)=(-a+b-c).(a-b+c)=-(a-b+c).(a-b+c)≤ 0 với mọi a,b,c
Xác định đa thức \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\) biết rằng f(x) chia x và x+4 đều có số dư là 5 và f(-2)=-3
\(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\)
=> \(f\left(-2\right)=4a-2b+c=-3\)
Có f(x) chia cho x và x + 4 đều dư 5
=> \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(0\right)=0+c=5\\f\left(-4\right)=16a-4b+c=5\end{matrix}\right.\)
Ta có hpt:
\(\left\{{}\begin{matrix}4a-2b+c=-3\\c=5\\16a-4b+c=5\end{matrix}\right.\)
⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}c=5\\2\left(2a-b\right)=-8\\4\left(4a-b\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=5\\b=4a\\2a-b=-4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=8\\c=5\end{matrix}\right.\)
Khi đó \(f\left(x\right)=2x^2+8x+5\)
Bài 10. Tìm m, n để đa thức \(f_{\left(x\right)}=\left(2m-n+1\right)x^2+m-3n+2\) là một đa thức không ?
- Để đa thức f(x) trên là một đa thức không thì :
\(\left\{{}\begin{matrix}2m-n+1=0\\m-3n+2=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m-n=-1\\m-3n=-2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-\dfrac{1}{5}\\n=\dfrac{3}{5}\end{matrix}\right.\)
Vậy ...
Tìm đa thức \(P\left(x\right)\), biết rằng đa thức \(P\left(x\right)\) chia cho đa thức \(x-2\) có số dư là : 35. Đa thức \(P\left(x\right)\) chia cho đa thức \(x+1\) có số dư là 5. Đa thức \(P\left(x\right)\) chia cho đa thức \(2x^2+5x+2\) có thương là \(x\).
P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn yêu toán giúp đỡ em tham khảo với ạ! Em cám ơn mọi người nhiều ạ!