Đặt \(H\left(x\right)=P\left(x\right)-\left(x^2+2\right)\)

\(\Rightarrow H\left(1\right)=H\left(3\right)=H\left(5\right)=0\)

\(\Rightarrow H\left(x\right)\) có 3 nghiệm 1; 3; 5

\(\Rightarrow H\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-3\right)\left(x-5\right)\left(x-a\right)\)

\(\Rightarrow P\left(x\right)=H\left(x\right)+x^2+2=\left(x-1\right)\left(x-3\right)\left(x-5\right)\left(x-a\right)+x^2+2\)

\(\Rightarrow P\left(-2\right)+7P\left(6\right)=-105\left(-2-a\right)+4+2+7\left[15\left(6-a\right)+36+2\right]=1112\)

1. Để tìm các đa thức P(x) thỏa mãn điều kiện P(2014) = 2046 và P(x) = P(x^2 + 1) - 33 + 32, ∀x ≥ 0, ta có thể sử dụng phương pháp đệ quy. Bước 1: Xác định bậc của đa thức P(x). Vì không có thông tin về bậc của đa thức, chúng ta sẽ giả sử nó là một hằng số n. Bước 2: Xây dựng công thức tổng quát cho đa thức P(x). Với bậc n đã xác định, ta có: P(x) = a_n * x^n + a_{n-1} * x^{n-1} + ... + a_0 Bước 3: Áp dụng điều kiện để tìm các hệ số a_i. Thay x = 2014 vào biểu thức và giải phương trình: P(2014) = a_n * (2014)^n + a_{n-1} * (2014)^{n-1} + ... + a_0 = 2046 Giải phương trình này để tìm các giá trị của các hệ số. Bước 4: Áp dụng công thức tái lập để tính toán các giá trị tiếp theo của P(x): P(x) = P(x^2+1)-33+32 Áp dụng công thức này lặp lại cho đến khi đạt được kết quả cuối cùng. 2. Để tìm các đa thức P(x) ∈ Z[x] bậc n thỏa mãn điều kiện [P(2x)]^2 = 16P(x^2), ∀x ∈ R, ta có thể sử dụng phương pháp đệ quy tương tự như trên. Bước 1: Xác định bậc của đa thức P(x). Giả sử bậc của P(x) là n. Bước 2: Xây dựng công thức tổng quát cho P(x): P(x) = a_n * x^n + a_{n-1} * x^{n-1} + ... + a_0 Bước 3: Áp dụng điều kiện để tìm các hệ số a_i. Thay x = 2x vào biểu thức và giải phương trình: [P(2x)]^2 = (a_n * (2x)^n + a_{n-1} * (2x)^{n-1} + ... + a_0)^2 = 16P(x^2) Giải phương trình này để tìm các giá trị của các hệ số. Bước 4: Áp dụng công thức tái lập để tính toán các giá trị tiếp theo của P(x): [P(4x)]^2 = (a_n * (4x)^n + a_{n-1} * (4x)^{n-1} + ... + a_0)^2 = 16P(x^2) Lặp lại quá trình này cho đến khi đạt được kết quả cuối cùng.

\(f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-3\right)=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-1=0\\x-3=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-1\\x-3\end{cases}}\)

=> x = 1 và x = 3 là nghiệm của đa thức f(x)

Mà nghiệm của đa thức f(x) cũng là nghiệm của đa thức g(x)

=> nghiệm của đa thức g(x) là x = { 1; 3 }

Với x = 1 thì \(g\left(x\right)=1^3-a.1^2+b.1-3=0\)

\(\Rightarrow-a+b=2\)(1)

Với x = 3 thì \(g\left(x\right)=3^3-a.3^2+3b-3=0\)

\(\Rightarrow3a-b=8\)(2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được : ( - a + b ) + (3a - b) = 10

=> 2a = 10 => a = 5

=> - 5 + b = 2 => b = 7

Vậy a = 5 ; b = 7

(x-1)(x-3)=0

=>x-1=0 hoặc x-3=0

=>x=1 hoặc x=3

Vậy nghiệm của f(x) là 1 và 3

Nghiệm của g(x) cũng là 1 và 3

Với x=1 ta có g(x)=1+a+b-3=0

=>a+b-2=0

a+b=2

Với x=3 ta có g(x)=27-9a+3b-3=0

=>24-9a+3b=0

=>8-3a+b=0

=>3a-b=8

a=\(\frac{8+b}{3}\)

Vậy với a+b=2 hoặc \(a=\frac{8+a}{3}\) thì nghiệm của đa thức f(x) cũng là nghiệm của g(x)

Đặt \(f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-3\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=0\\x-3=0\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=1\\x=3\end{cases}}\)

Vậy 2 nghiệm của \(f\left(x\right)\) là 1 và 3.

Vì nghiệm của \(g\left(x\right)\) cũng là nghiệm của \(f\left(x\right)\) hay ngược lại, hay 1 và 3 vào \(g\left(x\right)\), ta được:

\(\hept{\begin{cases}g\left(1\right)=-2-a+b\\g\left(3\right)=24-9a+3b\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-a+b=2\\-9a+3b=-24\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}3\left(-a+b\right)=3.2\\-9a+3b=-24\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}-3a+3b=6\\-9a+3b=-24\end{cases}}}\Rightarrow\left(-3a+3b\right)-\left(-9a+3b\right)=6-\left(-24\right)\Leftrightarrow-3a+3b+9a-3b=6+24\Leftrightarrow6a=30\Leftrightarrow a=5\Rightarrow-5+b=2\Leftrightarrow b=2+5=7\)

Vậy a=5 và b=7

Đặt \(Q\left(x\right)=P\left(x\right)-3x-2\)

\(\Rightarrow Q\left(1\right)=Q\left(2\right)=Q\left(4\right)=0\)

\(\Rightarrow Q\left(x\right)\) có 3 nghiệm \(x=\left\{1;2;4\right\}\)

Do \(P\left(x\right)\) bậc 4 và có hệ số cao nhất bằng 1 \(\Rightarrow Q\left(x\right)\) cũng là đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất bằng 1

\(\Rightarrow Q\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-4\right)\left(x-x_0\right)\) với \(x_0\in R\)

\(\Rightarrow P\left(x\right)=Q\left(x\right)+3x+2=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-4\right)\left(x-x_0\right)+3x+2\)

\(\Rightarrow P\left(5\right)=12\left(5-x_0\right)+17\) ; \(P\left(-1\right)=-30\left(-1-x_0\right)-1\)

\(\Rightarrow S=60\left(5-x_0\right)+85-60\left(-1-x_0\right)-2=443\)

Với \(x=\sqrt{4}\)ta có :

\(\left(x^2-4\right)P\left(\sqrt{4}+1\right)=\left(x^2-3\right)P\left(\sqrt{4}\right)\)

\(\Rightarrow\left(4-4\right)P\left(\sqrt{4}+1\right)=\left(4-3\right)P\left(\sqrt{4}\right)\)

\(\Rightarrow0.P\left(\sqrt{4}+1\right)=P\left(\sqrt{4}\right)\Rightarrow P\left(\sqrt{4}\right)=0\)

Vậy \(\sqrt{4}\)là 1 nghiệm của P(x)

Với \(x=\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow\left(3-4\right)P\left(\sqrt{3}+1\right)=\left(3-3\right)P\left(\sqrt{3}\right)\)

\(\Rightarrow-P\left(\sqrt{3}+1\right)=0\)

\(\Rightarrow P\left(\sqrt{3}+1\right)=0\)

Vậy............

Tự làm tiếp nha

vì (x²-4)P(x+1) = (x²-3)P(x) với mọi x nên :

- khi x²=4 =>  +) x=2 thì 0.P (x+1)=1.P(x) =>P(x) = 0.  vậy x=2 là 1 nghiệm của f(x)

                       +) x=-2 thì 0.P (x+1)=1.P(x) =>P(x) = 0.  vậy x=-2 là 1 nghiệm của f(x)

- khi x²=3 =>  +)  x=\(\sqrt{3}\) thì 5.P (x+1)=0.P(x) =>P(x+1) = 0.  vậy x=\(\sqrt{3}\) là 1 nghiệm của f(x)

                       +)  x= \(-\sqrt{3}\) thì 5.P (x+1)=0.P(x) =>P(x+1) = 0.  vậy x=\(\sqrt{3}\) là 1 nghiệm của f(x)

Do đó f(x) có ít nhất 4 nghiệm là: 2; -2; \(-\sqrt{3}\); \(\sqrt{3}\)

Giải : 

Vì :

x.P(x+1) = ( x - 2 ) .P(x)   với mọi x  . Nên : 

* Nếu cho x = 0 , ta có : 

0.P(0+1) = (0-2) . P(0) 

  0           = -2 . P( 0) 

=> P ( 0 ) = 0 

=> x = 0 là 1 nghiệm của đt  P ( x ) 

* Nếu cho x = 2 , ta có :

2 . P ( 2 + 1 ) = ( 2 - 2 ) . P ( 2 ) 

     2 . P ( 3 ) =             0 

=> p ( 3 ) = 0 

 => x = 3 là 1 nghiệm của đt p( x ) 

      Vậy đt P ( x ) có ít nhất 2 nghiệm là x = 0 và x = 3 .