Cách giải khác:

Ta chứng minh bổ đề:

\(\dfrac{11x+4y}{4x^2-xy+2y^2}\le\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\)(Đúng)

Tương tự ta cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\dfrac{11y+4z}{4y^2-yz+2z^2}\le\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{z};\dfrac{11z+4x}{4z^2-xz+2x^2}\le\dfrac{2}{z}+\dfrac{1}{x}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(P\le\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y}+\dfrac{3}{z}=\dfrac{3\left(xy+yz+xz\right)}{xyz}=9\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Câu hỏi của Neet - Toán lớp 10 | Học trực tuyến đổi biến (a,b,c)->(x,y,z) là y nhau

Dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) ta tìm được \(P=9\)

Ta sẽ chứng minh nó là \(GTLN\) của \(P\)

Thật vậy, ta cần chứng minh 

\(Σ\frac{11x+4y}{4x^2-xy+2y^2}\le\frac{3\left(xy+yz+xz\right)}{xyz}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{3}{x}-\frac{11x+4y}{4x^2-xy+2y^2}\right)\ge0\)

\(\LeftrightarrowΣ\frac{\left(x-y\right)\left(x-6y\right)}{x\left(4x^2-xy+2y^2\right)}\ge0\)

\(\LeftrightarrowΣ\left(\frac{\left(x-y\right)\left(x-6y\right)}{x\left(4x^2-xy+2y^2\right)}+\frac{1}{y}-\frac{1}{x}\right)\ge0\)

\(\LeftrightarrowΣ\frac{\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)}{xy\left(4x^2-xy+2y^2\right)}\ge0\) (luôn đúng)

Vậy \(P_{Max}=9\) khi \(x=y=z=1\)

ggvcgfdsx

Ta chứng minh:

\(\frac{11x+4y}{4x^2-xy+2y^2}\le\frac{2}{x}+\frac{1}{y}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\)(đúng)

Áp dụng bài toán ta được:

\(P\le3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=3.3=9\)

Ta chứng minh BĐT sau:

Ta có: \(x\left(3-4x^2\right)=-4x^3+3x-1+1=1-\left(x+1\right)\left(2x-1\right)^2\le1\)

\(\Rightarrow\dfrac{4x^2}{x\left(3-4x^2\right)}\ge\dfrac{4x^2}{1}=4x^2\)

Tương tự và cộng lại:

\(Q\ge4\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge4\left(xy+yz+zx\right)=3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{2}\)

bai 2 quen quen

à bài này làm r` ở bên đây nè :D có cả 2 cách

Câu hỏi của Phúc Long Nguyễn - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

chủ tus làm câu hệ đi

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(2x^2+3xy+4y^2\ge3\sqrt[3]{2x^2\cdot3xy\cdot4y^2}=3\sqrt[3]{24x^3y^3}\Rightarrow\sqrt{2x^2+3xy+4y^2}\ge\sqrt{xy\cdot3\sqrt[3]{24}}\)

Tương tự: \(\sqrt{2y^2+3yz+4z^2}\ge\sqrt{yz\cdot3\sqrt[3]{24}}\);  \(\sqrt{2z^2+3zx+4x^2}\ge\sqrt{zx\cdot3\sqrt[3]{24}}\)

Cộng theo vế 3 BĐT vừa tìm, ta được:

\(P\ge\sqrt{3\sqrt[3]{24}}\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)=\sqrt{3\sqrt[3]{24}}=\sqrt[6]{648}\)

Xem lại đề .
Có lẽ là 2x^2+3xy+2y^2 ((:

Áp dụng BĐT Buniacoxki ta có

\(\left(2x^2+3xy+4y^2\right)\left(2+3+4\right)\ge\left(2x+3\sqrt{xy}+4y\right)^2\)

=> \(\sqrt{2x^2+3xy+4y^2}\ge\frac{2x+3\sqrt{xy}+4y}{3}\)

Khi đó

\(P\ge\frac{1}{3}\left(6x+6y+6z+3\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\right)\right)\)

Lại có \(x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\)

=> \(P\ge3\left(\sqrt{yz}+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}\right)=3\)

MinP=3 khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

\(\left(xy+yz+zx\right)^2\ge3xyz\left(x+y+z\right)=9\Rightarrow xy+yz+zx\ge3\)

\(2\left(x^2+y^2\right)-xy\ge\left(x+y\right)^2-\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2=\dfrac{3}{4}\left(x+y\right)^2\)

Tương tự và nhân vế với vế:

\(VT\ge\dfrac{27}{64}\left[\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\right]^2\)

Mặt khác ta có:

\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-xyz\)

\(\ge\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-\sqrt[3]{xyz}.\sqrt[3]{xy.yz.zx}\)

\(\ge\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)-\dfrac{1}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\)

\(=\dfrac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge\dfrac{8}{9}\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}.\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{27}{64}.\dfrac{64}{81}.3\left(xy+yz+zx\right)^3\ge3^3=27\) (đpcm)