Đặt A = 3^{x + 1} + 3^{x + 2} + 3^{x + 3} + ... + 3^{x + 100}

=> A = ( 3^{x + 1} + 3^{x + 2} + 3^{x + 3} + 3^{x + 4} ) + ( 3^{x + 5} + 3^{x + 6} + 3^{x + 7} + 3^{x + 8} ) + ... + ( 3^{x + 97} + 3^{x + 98} + 3^{x + 99} + 3¹⁰⁰ )

=> A = 3^x . ( 3 + 3² + 3³ + 3⁴ ) + 3^{x + 5} . ( 3 + 3² + 3² + 3⁴ ) + ... + 3^{x + 97} . ( 3 + 3² + 3³ + 3⁴ )

=> A = 3^x . 120 + 3^{x + 5} . 120 + ... + 3^{x + 97} . 120

=> A = ( 3^x + 3^{x + 5} + ... + 3^{x + 97} ) . 120

Vì \(120⋮120\)nên \(\left(3^x+3^{x+5}+...+3^{x+97}\right).120⋮120\)hay \(A⋮120\)

~ Hok tốt ~

\(S=3^{x+1}+3^{x+2}+3^{x+3}+...+3^{x+100}=3^x\left(3+3^2+3^3+..3^{100}\right).Do..đó.\) 

Ta chứng minh A = 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + ..... + 3⁹⁹ + 3¹⁰⁰  chia hết cho 120 . Tổng A có 100 số hạng.

- Chia tổng A thành 25 nhóm , mooic nhóm gồm 4 số hạng liên tiếp, kể từ số hạng đầu, mỗi nhóm như vậy có tổng chia hết cho 120 :

A = (3 + 3² + 3³ + 3⁴) + (x⁵ + x⁶ +  x⁷ +  x⁸ ) + ... + (x⁹⁷ + x⁹⁸ + x⁹⁹ + x¹⁰⁰ ) = x ( 1 + x + x² + x³ ) + x² ( 1 + x + x² + x³ ) + ..... + x⁹⁷ ( 1 + x + x² + x³ ) = 40.(x + x² + x³ + ... + x⁹⁷ )  Chia hết cho 40 . Dễ thấy A chia hết cho 3, Mà 3 và 40 nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho  3x40 = 120

Do đó S = 3^x.A chia hết cho 120 với mọi giá trị x là số tự nhiên.

\(\left(3^{x+1}+3^{x+2}+3^{x+3}+3^{x+4}\right)+\left(3^{x+5}+3^{x+6}+3^{x+7}+3^{x+8}\right)+...+\left(3^{x+97}+3^{x+98}+3^{x+99}+3^{x+100}\right)\)

\(3^x.\left(3+3^2+3^3+3^4\right)+3^{x+4}.\left(3+3^2+3^3+3^4\right)+...+3^{x+96}.\left(3+3^2+3^3+3^4\right)\)

\(120.3^x+120.3^{x+4}+...120.3^{x+96}⋮120\)

120=3.5.8
đã có :3+3 ^2 +....+3^100:3+3^2+....+3^100 chia hết cho 3.
Mặt khác : 3+3^2+....+3^100=(3+3^2+3^3+3^4)+(3^5+3^6+3^7+3^8)+....+(3^97+3^98+3^99+3^100)3+3^2+....+31^00=(3+3^2+3^3+3^4)+(3^5+3^6+3^7+3^8)+....+(3^97+3^98+3^99+3^100) (có 25 cặp, mỗi cặp 4 số )
=3.40+3^5.40+...+3^97.40=3.40+3^5.40+...+3^97.40chia hết cho 40
vì (40,3)=1 nên dãy trên chia hết cho 40.3=120

Đặt A = 3^x+1 + 3^x+2 +...+ 3^x+100

= (3^x+1 + 3^x+2 + 3^x+3 + 3^x+4) +...+ (3^x+97 + 3^x+98 + 3^x+99 + 3^x+100)

= 3^x(3 + 3² + 3³ + 3⁴) +...+ 3^x+96(3 + 3² + 3³ + 3⁴)

= 3^x.120 + ... + 3^x+96.120

= 120(3^x +...+ 3^x+96) chia hết cho 120

Đặt :

A = 3^{x + 1} + 3^{x + 2} + 3^{x + 3} + ..... + 3^{x + 100}

A = 3^x.3 + 3^x.3² + 3^x.3³ + ....... + 3^x.3¹⁰⁰

A = 3^x.(3 + 3² + 3³ + ....... + 3¹⁰⁰)

Đặt A' = 3 + 3² + 3³ + ....... + 3¹⁰⁰

Có : A' = 3 + 3² + 3³ + ....... + 3¹⁰⁰

A' = (3 + 3² + 3³ + 3⁴) + (3⁵ + 3⁶ + 3⁷ + 3⁸) + ....... + (3⁹⁷ + 3⁹⁸ + 3⁹⁹ + 3¹⁰⁰)

A' = 3.(1 + 3 + 9 + 27) + 3⁵.(1 + 3 + 9 + 27) + ....... + 3⁹⁷.(1 + 3 + 9 + 27)

A' = 3.40 + 3⁵.40 + ....... + 3⁹⁷.40

A' = 40.(3 + 3⁵ + ...... + 3⁹⁷)

=> A = 3^x.A'

Mà A' chia hết cho 40 , đồng thời 3^x chia hết cho 3

=> A chia hết cho 40.3 = 120

Đặt A = 3^x+1 + 3^x+2 + .... + 3^x+100

⇒ A = ( 3^x+1 + 3^x+2 + 3^x+3 + 3^x+4 ) + ( 3^x+5 + 3^x+6 + 3^x+7 + 3^x+8 ) + ..... + ( 3^x+97 + 3^x+98 + 3^x+99 + 3^x+100 )

⇒ A = 3^x+1.( 3 + 3² + 3³ + 3⁴ ) + 3^x+5.( 3 + 3² + 3³ + 3⁴ ) + .... + 3^x+97.( 3 + 3² + 3³ + 3⁴ )

⇒ A = 3^x+1. 120 + 3^x+5 . 120 + ..... + 3^x+97 . 120

⇒ A = 120.( 3^x+1 + 3^x+5 + 3^x+9 + .... + 3^x+97 )

Vì 120 ⋮ 120 ⇒ A ⋮ 120 ( đpcm )

 3¹ + 3² + .. + 3¹⁰⁰ ( 100 số hạng )

Ta chia được 25 nhóm như sau : ( 3 + 3² + 3³ + 3⁴ ) + .. + ( 3⁹⁷ + 3⁹⁸ + 3⁹⁹ + 3¹⁰⁰ )

                                             <=>  120  + .. + 3⁹⁶ . 120

Các số hạng đều chia hết cho 120  => biểu thức trên chia hết cho 120

Ta có:3^x+1+3^x+2+............+3^x+100

=(3^x+1+3^x+2+3^x+3+3^x+4)+..........+(3^x+97+3^x+98+3^x+99+3^x+100)

=3^x.(3+3²+3³+3⁴)+.........+3^x+96.(3+3²+3³+3⁴)

=3^x.120+.........+3^x+96.120

=(3^x+3^x+4+..........+3^x+96).120 chia hết cho 120(đpcm)

Đặt biểu thức là A. Ta có:

Tổng các số hạng của A là: 100-1+1=100 (số hạng)

Nhóm 4 số hạng liên tiếp với nhau được 25 nhóm như sau: 

A = (3^x+1+3^x+2+3^x+3+3^x+4)+(3^x+5+3^x+6+3^x+7+3^x+8)+...+(3^x+97+3^x+98+3^x+99+3^x+100)

A = 3^x(3+3²+3³+3⁴)+3^x+4(3+3²+3³+3⁴)+...+3^x+96(3+3²+3³+3⁴) = (3+3²+3³+3⁴)(3^x+3^x+4+...+3^x+96)

=> A = 120.(3^x+3^x+4+...+3^x+96)

=> A chia hết cho 120 với mọi x thuộc N

$3^{x+1}+3^{x+2}+..........+3^{x+100}\\=3^x(3+3^2+.........+3^{100}$ 
Vì $3 \to 3^{100}$ có 100 số nên ta ghép 4 số vào 1 cặp
$\to 3^{x+1}+3^{x+2}+..........+3^{x+100}\\=3^x[(3+3^2+3^3+3^4)+......+3^{97}+3^{98}+3^{99}+3^{100}\\=3^x[120+...+3^{96}.120] \vdots 120(đpcm)$

=3^x.3 + 3^x.3^2 + 3^x.3^3 +...+ 3^x.3^100

=3^x . ( 3+3^2+3^3+3^4+...+3^100)

=3^x .( (3+3^2+3^3+3^4)+(3^5+3^6+3^7+3^8)+...+ (3^97+3^98+3^99+3^100) 

=3^x . ( 120 + 3^4 .(3+3^2+3^3+3^4) +...+ 3^96 (3+3^2+3^3+3^4)

=3^x . ( 120+ 3^4. 120+...+3^96.120)

=3^x . 120 . (1+3^4+...+3^96)

 chia hết cho 120( đây là cách giải lớp 6)

=3^x(3+3^2+3^3+3^4)+(3^x+4)(3+3^2+3^3+3^4)+...

=3^x.120+(3^x+4).120+...

=120(3^x+3^x+4...) chia hết cho 120

=>x^3+1...(đề bài) chia hết cho 120

(Một số dấu ngoặc mk thêm để cho dễ nhìn nha)

Nhớ k cho mk đó!