Cho dãy số (\(u_n\)) với \(u_n=1+\left(n-1\right).2^n\)
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số
b) Tìm công thức truy hồi
c) Chứng minh \(\left(u_n\right)\) là dãy số tăng và bị chặn dưới
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)cho bởi hệ thức truy hồi: \({u_1} = 1,\;\;\;{u_n} = n.{u_{n - 1}}\) với \(n \ge 2\)
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát \({u_n}\).
a) \({u_1} = 1\)
\( \Rightarrow {u_2} = 2.1 = 2\)
\( \Rightarrow {u_3} = 3.2 = 6\)
\( \Rightarrow {u_4} = 4.6 = 24\)
\( \Rightarrow {u_5} = 5.24 = 120\)
b)
Ta có:
\({u_2} = 2 = 2.1 \)
\({u_3} = 6= 1.2.3 \)
\({u_4} = 24 = 1.2.3.4\)
\({u_5} = 120 = 1.2.3.4.5\)
\( \Rightarrow {u_n} = 1.2.3....n = n!\).
Cho dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(u_n=n^2-4n+3\)
a) Viết công thức truy hồi của dãy số
b) Chứng minh dãy số bị chặn dưới
c) Tính tổng n \(n\) số hạng đầu của dãy đã cho
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với số hạng tổng quát \({u_n} = n!.\).
b) Viết năm số hạng đầu của dãy số Fibonacci \(\left( {{F_n}} \right)\) cho bởi hệ thức truy hồi
\(\{ {F_1} = 1,\;{F_2} = 1\;{F_n} = {F_{n - 1}} + {F_{n - 2}}\;\left( {n \ge 3} \right)\;\).
a) 5 số hạng đầu của dãy số là: 1; 2; 6; 24; 120.
b) \({F_1} = 1,\;{F_2} = 1,\;{F_3} = 2,\;{F_4} = 3,\;{F_5} = 5\;\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {3.2^n}\)
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số này.
b) Dự đoán hệ thức truy hồi liên hệ giữa \({u_n}\) và \({u_{n - 1}}\).
a) Ta có: \({u_1} = 6,\;\;\;\;{u_2} = 12,\;\;\;\;\;{u_3} = 24,\;\;\;\;\;{u_4} = 48,\;\;\;\;\;{u_5} = 96\).
b) Hệ thức truy hồi liên hệ giữa \({u_n}\) và \({u_{n - 1}}\) là: \({u_n} = 2{u_{n - 1}}\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}\).
Chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng và bị chặn.
• Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} = \frac{{2n + 2 - 1}}{{n + 1 + 1}} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}\)
Xét hiệu:
\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} - \frac{{2n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{\left( {2n + 1} \right)\left( {n + 1} \right) - \left( {2n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {2{n^2} + n + 2n + 1} \right) - \left( {2{n^2} - n + 4n - 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{2{n^2} + n + 2n + 1 - 2{n^2} + n - 4n + 2}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{3}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Vậy \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\). Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
• Ta có: \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 3}}{{n + 1}} = 2 - \frac{3}{{n + 1}}\)
\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:
\(n + 1 > 0 \Leftrightarrow \frac{3}{{n + 1}} > 0 \Leftrightarrow 2 - \frac{3}{{n + 1}} < 2 \Leftrightarrow {u_n} < 2\). Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên.
\(n \ge 1 \Leftrightarrow n + 1 \ge 1 + 1 \Leftrightarrow n + 1 \ge 2 \Leftrightarrow \frac{3}{{n + 1}} \le \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2 - \frac{3}{{n + 1}} \ge 2 - \frac{3}{2} \Leftrightarrow {u_n} \ge \frac{1}{2}\)
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới.
Ta thấy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.
Cho dãy số \(\left(u_n\right)=\left(-3\right)^{2n-1}\)
a) Chứng minh dãy số \(\left(u_n\right)\) là cấp số nhân. Nêu nhận xét về tính tăng, giảm của dãy số
b) Lập công thức truy hồi của dãy số
c) Hỏi số -19683 là số hạng thứ mấy của dãy số ?
a) Có \(u_n=\left(-3\right)^{2n-1}=\left(-3\right)^2.\left(-3\right)^{2n-3}\)\(=9.2^{2\left(n-1\right)-1}=9.u_{n-1}\)
Vì vậy \(\left(u_n\right)\) là dãy số nhân với \(u_1=\left(-3\right)^{2.1-1}=-3\) và \(q=9\).
b) Công thức truy hồi của dãy số \(\left(u_n\right)\) là \(u_n=9u_{n-1}\).
c) Có \(u_n=\left(-3\right)^{2n-1}=-19683=\left(-3\right)^9\)\(\Leftrightarrow2n-1=9\)\(\Leftrightarrow n=5\).
Vậy số hạng thứ 5 bằng \(-19683\).
Cho dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(u_n=1-7n\)
a) Khảo sát tính tăng, giảm của dãy số
b) Chứng minh dãy số trên là cấp số cộng. Lập công thức truy hồi của dãy số
c) Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy số
Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số có số hạng tổng quát \({u_n}\) cho bởi công thức sau:
a) \({u_n} = 2{n^2} + 1\)
b) \({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{2n - 1}}\)
c) \({u_n} = \frac{{{2^n}}}{n}\)
d) \({u_n} = {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n}\)
a) Năm số hạng đầu của dãy số là: 3; 9; 19; 33; 51
b) Năm số hạng đầu của dãy số là: \( - 1;\frac{1}{3}; - \frac{1}{5};\frac{1}{7}; - \frac{1}{9}\)
c) Năm số hạng đầu của dãy số là: \(2;2;\frac{8}{3};4;\frac{{32}}{5}\)
d) Năm số hạng đầu của dãy số là: \(2;\frac{9}{4};\frac{{64}}{{27}};\frac{{625}}{{256}};\frac{{7776}}{{3125}}\)
Cho dãy số \(\left(u_n\right)\) xác định bởi \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=2\\u_{n+1}=\dfrac{u_n+1}{2}\end{matrix}\right.\) với \(n\ge1\)
a, Viết 4 số hạng đầu của dãy số
b, Chứng minh rằng \(u_n>1\) với \(n\ge1\)
c, Tìm CTTQ của dãy