Gọi \(M\left(x;y\right)\) là điểm thuộc phân giác của 2 đường thẳng

\(\Leftrightarrow d\left(M;\Delta_1\right)=d\left(M;\Delta_2\right)\)

a/ \(\frac{\left|2x+4y+7\right|}{\sqrt{2^2+4^2}}=\frac{\left|5x+3y+7\right|}{\sqrt{5^2+3^2}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{17}\left|2x+4y+7\right|=\sqrt{10}\left|5x+3y+7\right|\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2\sqrt{17}x+4\sqrt{17}y+7\sqrt{17}=5\sqrt{10}x+3\sqrt{10}y+7\sqrt{10}\\2\sqrt{17}x+4\sqrt{17}y+7\sqrt{17}=-5\sqrt{10}x-3\sqrt{10}y-7\sqrt{10}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(2\sqrt{17}-5\sqrt{10}\right)x+\left(4\sqrt{17}-3\sqrt{10}\right)y+7\sqrt{17}-7\sqrt{10}=0\\\left(2\sqrt{17}+5\sqrt{10}\right)x+\left(4\sqrt{17}+3\sqrt{10}\right)y+7\sqrt{17}+7\sqrt{10}=0\end{matrix}\right.\)

Câu b bạn làm tương tự. Số xấu quá nhìn chẳng muốn làm luôn

a: Tọa độ A là:

4x-3y-12=0 và 4x+3y-13=0

=>A(25/8;1/6)

Tọa độ B là:

x=0 và 4x-3y-12=0

=>x=0 và y=-4

Tọa độ C là:

x=0 và 4x+3y-13=0

=>y=13/3

b: A(25/8;1/6); B(0;-4); C(0;13/3)

\(AB=\sqrt{\left(0-\dfrac{25}{8}\right)^2+\left(-4-\dfrac{1}{6}\right)^2}=\dfrac{125}{24}\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{\left(0-\dfrac{25}{8}\right)^2+\left(\dfrac{13}{3}-\dfrac{1}{6}\right)^2}=\dfrac{125}{24}\left(cm\right)\)

\(BC=\sqrt{0^2+\left(\dfrac{13}{3}+4\right)^2}=\dfrac{25}{3}\)

\(P=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{125}{24}+\dfrac{125}{24}+\dfrac{25}{3}\right)=\dfrac{75}{8}\)

\(cosA=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\dfrac{-7}{25}\)

=>sin A=24/25

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{24}{25}\cdot\dfrac{125}{24}\cdot\dfrac{125}{24}=\dfrac{625}{48}\)

=>r=625/48:75/8=25/18

Đường thẳng \(\Delta_1\) có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_1}=\left(3;4\right)\)

Đường thẳng \(\Delta_2\) có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_2}=\left(4;-3\right)\)

Do \(\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}=3.4+4.\left(-3\right)=0\) nên \(\Delta_1\perp\Delta_2\)

Do đó nếu đường thẳng d tạo với  \(\Delta_1,\Delta_2\) một tam giác cân, thì đó là tam giác vuông cân, tại đỉnh là giao điểm của  \(\Delta_1;\Delta_2\)

Bài toán quy về viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(1;1) và tạo với đường thẳng  \(\Delta_1\) một góc \(\frac{\pi}{4}\).

Giả sử đường thẳng d có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{m}=\left(a;b\right)\) với \(a^2+b^2\ne0\), khi đó d có phương trình dạng :

\(ax+by-a-b=0\)

Do  góc \(\left(d;\Delta_1\right)=\frac{\pi}{4}\) nên

\(\frac{\left|3a+4b\right|}{5\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow7a^2-48ab-7b^2=0\)

                         \(\Leftrightarrow\begin{cases}a=7b\\7a=-b\end{cases}\)

Nếu a=7b, chọn b=1, a=7, ta được đường thẳng d : \(7x+y-8=0\)

Nếu 7a=-b, chọn a=1, b=-7 ta được đường thẳng d : \(x-7y+6=0\)

Giả sử: \(d_{\left(M,\Delta_1\right)}=d_{\left(M,\Delta_2\right)}\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left|2x+4y+7\right|}{\sqrt{2^2+4^2}}=\dfrac{\left|x-2y-3\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{5}\left|2x+4y+7\right|=2\sqrt{5}\left|x-2y-3\right|\)

\(\Rightarrow\left|2x+4y+7\right|=2\left|x-2y-3\right|\)

* \(2x+4y+7=2\left(x-2y-3\right)\)

\(\Rightarrow8y+13=0\)

*\(2x+4y+7=-2\left(x-2y-3\right)\)

\(\Rightarrow4x+1=0\)

Gọi tâm đường tròn là \(I\left(a;b\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{MI}=\left(a-2;b-3\right)\Rightarrow IM=\sqrt{\left(a-2\right)^2+\left(b-3\right)^2}\)

\(d\left(I;\Delta_1\right)=d\left(I;\Delta_2\right)\Leftrightarrow\frac{\left|3a-4b+1\right|}{\sqrt{3^2+\left(-4\right)^2}}=\frac{\left|4a+3b-7\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}\)

\(\Leftrightarrow\left|3a-4b+1\right|=\left|4a+3b-7\right|\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}3a-4b+1=4a+3b-7\\3a-4b+1=-4a-3b+7\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=8-7b\\b=7a-6\end{matrix}\right.\)

TH1: \(a=8-7b\)

\(d\left(I;\Delta_1\right)=R=IM\Leftrightarrow\frac{\left|3a-4b+1\right|}{\sqrt{3^2+\left(-4\right)^2}}=\sqrt{\left(a-2\right)^2+\left(b-3\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left|25-25b\right|}{5}=\sqrt{\left(6-7b\right)^2+\left(b-3\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(5b-5\right)^2=\left(6-7b\right)^2+\left(b-3\right)^2\)

\(\Leftrightarrow5b^2-8b+4=0\) (vô nghiệm)

TH2: \(b=7a-6\)

\(d\left(I;\Delta_1\right)=IM\Leftrightarrow\frac{\left|3a-4b+1\right|}{5}=\sqrt{\left(a-2\right)^2+\left(b-3\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow\left|5a-5\right|=\sqrt{\left(a-2\right)^2+\left(7a-9\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(5a-5\right)^2=\left(a-2\right)^2+\left(7a-9\right)^2\)

\(\Leftrightarrow5a^2-16a+12=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=2\Rightarrow b=8\\a=\frac{6}{5}\Rightarrow b=\frac{12}{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}I\left(2;8\right);R=IM=5\\I\left(\frac{6}{5};\frac{12}{5}\right);R=IM=1\end{matrix}\right.\)

Có 2 đường tròn thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}\left(x-2\right)^2+\left(y-8\right)^2=25\\\left(x-\frac{6}{5}\right)^2+\left(y-\frac{12}{5}\right)^2=1\end{matrix}\right.\)

mỗi bài, mk làm một phần ví dụ cho cậu nhé

nó đối xứng với nhau qua pt đường thẳng đenta,

trường hợp (d) ko cắt (đen ta) hay (d) cắt (đen ta) thì đều làm theo phương pháp sau 

lấy 2 điểm bất kì thuộc (d) thì ta có như sau: A(0:1)  là điểm thuộc đường thẳng (d)

lấy A' đối xứng với A qua (đen ta) 

liên hệ tính chất đối xứng qua đường thẳng thì hiểu là AA' vuông góc (đen ta)

đồng thời giao điểm của  AA' với (đen ta) là trung điểm của  AA' 

dễ dàng tìm đc giao điểm của (đen ta) với (d) là K(-2/5;1/5)

từ pt (đenta) thì dễ dàng =) vecto pháp tuyến của (đenta) =) (3;-4) 

vì AA' vuông góc với (đenta) nên =) vectơ pháp tuyến của AA' là (4;-3)

áp véctơ pháp tuyến của AA' vào phương trình tổng quát đc: 4(x-0)-3(y-1)=0 (=) 4x-3y+3=0

gọi I là giao điểm của AA' và (đenta) =) I(-6/7;-1/7)

mà I là trung điểm của AA' 

chắc chắn cậu sẽ dễ dàng suy ra điểm A'

mà K và A' thuộc (d') nên dễ dàng =) phương trình của (d')

lời giải

\(\Delta_1\) //\(\Delta_2\)

Vậy \(\Delta_3\) cách đều phải //\(\Delta_2\) và \(\Delta_1\) và giữa \(\Delta_1\&\Delta_2\)

M(0,b)

x=0 =>\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta_1=y=1\\\Delta_2\Rightarrow y=-\dfrac{7}{3}\end{matrix}\right.\)

=> b=\(\dfrac{\dfrac{3}{3}-\dfrac{7}{3}}{2}=\dfrac{-2}{3}\)

\(M=\left(0,-\dfrac{2}{3}\right)\)

\(\Delta_3\) phải đi qua M

=>\(\Delta_3\)=5x+3(y+2/3)=5x+3y+2=0

Đáp số: \(\Delta_3\)=5x+3y+2=0

B

B

B