a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔCAB vuông tại A có

góc B chung

=>ΔAHB đồng dạng với ΔCAB

b: \(BC=\sqrt{15^2+20^2}=25\left(cm\right)\)

HB=15^2/20=9cm

c: AD*AB=AH^2

AE*AC=AH^2

=>AD*AB=AE*AC

a: Xét ΔABH và ΔCAH có

góc ABH=góc CAH

góc AHB=góc CHA

=>ΔABH đồng dạng với ΔCAH

b: ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao

nên AD*AB=AH^2

ΔACH vuông tại H có HE là đường cao

nên AE*AC=AH^2=AD*AB

Lời giải:
a. Xét tam giác $AHB$ và $CAB$ có:
$\widehat{AHB}=\widehat{CAB}=90^0$

$\widehat{B}$ chung

$\Rightarrow \triangle AHB\sim \triangle CAB$ (g.g)

b. Từ tam giác đồng dạng phần a suy ra:

$\frac{HB}{AB}=\frac{AB}{CB}$

$\Rightarrow HB=\frac{AB^2}{BC}=\frac{AB^2}{\sqrt{AB^2+AC^2}}=\frac{15^2}{\sqrt{15^2+20^2}}=9$ (cm)

c. Xét tam giác $AHD$ và $ABH$ có:

$\widehat{A}$ chung

$\widehat{ADH}=\widehat{AHB}=90^0$

$\Righarrow \triangle AHD\sim \triangle ABH$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{AH}{AB}=\frac{AD}{AH}$

$\Rightarrow AB.AD=AH^2(*)$

Tương tự ta cũng chỉ ra $\triangle AHE\sim \triangle ACH$ (g.g)

$\Rightarrow AE.AC=AH^2(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow AB.AD=AE.AC$ (đpcm)

Hình vẽ:

Xét tgiac ABH và tgiac AHD có:

Góc HAB: góc chung

Góc AHB = Góc ADH (= 90⁰)

=> tgiac ABH đồng dạng vs tgiac AHD

=> \(\frac{AB}{AH}=\frac{AH}{AD}\Rightarrow AH^2=AB.AD\)

Nối DE

Tứ giác DHEA có 3 góc vuông nên là HCN. Gọi F là giao điểm 2 đường chéo.

Vì DHEA là HCN nên DF = FA = FH = FE

=> tgiac DFA là tam giác cân tại F => Góc FDA = Góc FAD

Xét tgiac ADE và tgiac HAB có:

Góc FDA = Góc FAD (cmt)

Góc DAE = Góc AHB (= 90⁰)

=> tgiac ADE đồng dạng vs tgiac HAB (1)

Xét tgiac HAB và tgiac ACB có:

Góc ABC : góc chung

Góc BHA = Góc BAC (= 90⁰)

=> tgiac HAB đồng dạng vs tgiac ACB (2)

Từ (1) và (2) => tgiac ADE đồng dạng vs tgiac ACB

=> \(\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\Rightarrow AD.AB=AE.AC\).

bài dễ mà