Chứng minh rằng một đa diện có các mặt là những tam giac thì tổng số các mặt của nó phải là số chẵn. Cho ví dụ ?
Chứng minh rằng một đa diện có các mặt là những tam giác thì tổng số các mặt của nó phải là một số chẵn. Cho ví dụ:
* Gọi a là số cạnh, b là số mặt của khối đa diện.
Nếu khối đa diện có các mặt là tam giác thì mỗi mặt có ba cạnh. Trong ba cạnh đó mỗi cạnh lần lượt là cạnh chung của hai mặt.
Ta có 3b = 2a. Nghĩa là b chẵn.
Mà 2a chia hết cho 2 nên 3b cũng chia hết cho 2
⇒ b chia hết cho 2 hay b là số chẵn.
* Ví dụ: hình tứ diện đều có 4 mặt
Chứng minh rằng một đa diện mà mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng số các đỉnh của nó phải là một số chẵn. Cho ví dụ.
Cho khối đa diện G có các đỉnh là lần lượt là số các mặt của H nhận chúng làm đỉnh chung. Tổng số các cạnh của G là:
tự nhiên lẻ nên tổng của chúng là số chẵn khi n chẵn.
Ví dụ: Hình chóp ngũ giác là đỉnh chung của 5 mặt bên. Mỗi đỉnh
B 1 , B 2 , B 3 , B 4 , B 5 , B 6 là đỉnh chung của ba mặt (hình trên).
Chứng minh rằng một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của số lẻ mặt thì tổng số các đỉnh của nó là một số chẵn. Cho ví dụ.
Giả sử đa diện (H) có các đỉnh là , gọi lần lượt là số các mặt của (H) nhận chúng là đỉnh chung. Như vậy mỗi đỉnh có cạnh đi qua. Do mỗi cạnh của (H) là cạnh chưn của đúng hai mặt nên tổng số các cạnh của H bằng
Vì c là số nguyên, là những số lẻ nên Đ phải là số chẵn. Ví dụ : Số đỉnh của hình chóp ngũ giác bằng sáu.
Chứng minh rằng một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đếu là đỉnh chung của một số lẻ thì tổng số các đỉnh của nó phải là một số chẵn. Cho ví dụ ?
Giả sử đa diện (H) có các đỉnh là A1, … Ad gọi m1, … md lần lượt là số các mặt của (H) nhận chúng là đỉnh chung. Như vậy mỗi đỉnh Ak có mk cạnh đi qua. Do mỗi cạnh của (H) là cạnh chung của đúng hai mặt nên tổng số các cạnh của H bằng
c=12(m1+m2+...+md)c=12(m1+m2+...+md)
Vì c là số nguyên, m1, … md là những số lẻ nên Đ phải là số chẵn. Ví dụ : Số đỉnh của hình chóp ngũ giác bằng sáu.
Help
Chứng minh rằng một đa diện mà mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng số các đỉnh của nó phải là một số chẵn. Cho ví dụ.
Giả sử đa diện (H)(H) có các đỉnh là A1,…AdA1,…Ad, gọi m1,…mdm1,…md lần lượt là số các mặt của (H)(H) nhận chúng là đỉnh chung, ở đó m1,…mdm1,…md là những số lẻ.
Như vậy mỗi đỉnh AkAk có mkmk cạnh đi qua.
Ta có: đỉnh A1A1 có m1m1 cạnh đi qua.
đỉnh A2A2 có m2m2 cạnh đi qua.
...
đỉnh AdAd có mdmd cạnh đi qua.
Do đó số các cạnh (có thể trùng nhau) của đa diện là m1+m2+...+mdm1+m2+...+md.
Tuy nhiên, do mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên số cạnh ở trên được đếm hai lần.
Vậy số cạnh thực tế của (H)(H) bằng
c=12(m1+m2+...+md)c=12(m1+m2+...+md)
Vì cc là số nguyên, m1,…mdm1,…md là những số lẻ nên dd phải là số chẵn.
Ví dụ : Hình chóp ngũ giác.
Đỉnh S là đỉnh chung của 5 mặt, tất cả các đỉnh còn lại là đỉnh chung của 3 mặt, hình chóp ngũ giác có 6 đỉnh
giup mình cày Sp vơi
Một hình đa diện có các mặt là những tam giác thì số mặt M và số cạnh C của đa diện đó thỏa mãn
A. y = x 3 − 6 x 2 + 9 x
B. y = x 3 − 6 x 2 + 9 x
C. y = x 3 − 6 x 2 + 9 x
D. y = x 3 − 6 x 2 + 9 x
Đáp án là .D...
Số cạnh trong M tam giác là 3 M tuy nhiên cạnh được nhắc lại 2 lần nên do đó 3 M = 2 C .
Cho khối đa diện có tất cả các mặt đều là tam giác và các mệnh đề nào sau đây:
(1). Số mặt của khối đa diện luôn là số chẵn. (2). Số cạnh của khối đa diện luôn là số lẻ.
Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. Chỉ có (1) đúng
B. Cả (1) và (2) sai.
C. Chỉ có (2) đúng.
D. Cả (1) và (2) đúng.
Đáp án A
Nếu số mặt là 6 dễ thấy số cạnh là 9, nếu số mặt là 4 thì số cạnh là 6 do đó (2) sai.
Cho khối đa diện có tất cả các mặt đều là tam giác và các mệnh đề nào sau đây:
(1). Số mặt của khối đa diện luôn là số chẵn. (2). Số cạnh của khối đa diện luôn là số lẻ.
Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. Chỉ có (1) đúng
B. Cả (1) và (2) sai.
C. Chỉ có (2) đúng.
D. Cả (1) và (2) đúng.
Đáp án A
Nếu số mặt là 6 dễ thấy số cạnh là 9, nếu số mặt là 4 thì số cạnh là 6 do đó (2) sai.
Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì trong một tứ diện đều đến các mặt phẳng của nó là một số không đổi.
Ta có tứ diện đều ABCD, M là một điểm trong của nó. Gọi V là thể tích, S là diện tích mỗi mặt của tứ diện đều ABCD, h A , h B , h C , h D lần lượt là khoảng cách từ M đến các mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC).
Khi đó ta có:
V = V MBCD + V MCDA + V MDAB + V MABCV
= S( h A + h B + h C + h D )/3
Từ đó suy ra h A + h B + h C + h D = 3V/S