TXĐ: D = [0; 2]

+ Hàm số đồng biến

⇔ y’ > 0

⇔ 0 < x < 1.

+ Hàm số nghịch biến

⇔ y’ < 0

⇔ 1 < x < 2.

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1), nghịch biến trên khoảng (1; 2).

Lời giải:

$y'=\frac{2x}{\sqrt{2x^2+1}}$

$y'>0\Leftrightarrow 2x>0\Leftrightarrow x>0$ hay $x\in (0;+\infty)$

$y'< 0\Leftrightarrow 2x< 0\Leftrightarrow x\in (-\infty;0)$

Vậy hàm số đồng biến trên $(0;+\infty)$ và nghịch biến trên $(-\infty; 0)$

Đáp án A.

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\)

1.

\(y'=2cosx-2sin2x=2cosx-4sinx.cosx=2cosx\left(1-2sinx\right)\)

\(y'=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=0\\sinx=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{2}\\x=\dfrac{\pi}{6}\\x=\dfrac{5\pi}{6}\end{matrix}\right.\)

Hàm đồng biến trên các khoảng \(\left(0;\dfrac{\pi}{6}\right)\) và \(\left(\dfrac{\pi}{2};\dfrac{5\pi}{6}\right)\)

2.

Xét hàm \(f\left(x\right)=x^2-2x-3\)

\(f\left(x\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=3\end{matrix}\right.\)

\(f'\left(x\right)=2x-2=0\Rightarrow x=1\)

Hàm nghịch biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(1;3\right)\)

Lời giải

$y'=3x^2+1>0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ nên hàm $y=x^3+x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$

PT $\Leftrightarrow x^3+x=\sqrt[3]{2x+1}+2x+1$

Đặt $\sqrt[3]{2x+1}=t$ thì:
$x^3+x=t^3+t$

Vì hàm $y=x^3+x$ đồng biến nên $x^3+x=t^3+t\Leftrightarrow x=t$

$\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{2x+1}$

$\Leftrightarrow x^3=2x+1$

Giải pt này dễ dàng có $x=-1; \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

Tập xác định : D = R. y' = => y' = 0 ⇔ x=-1 hoặc x=1.

Bảng biến thiên :

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-1 ; 1); nghịch biến trên các khoảng (-^∞ ; -1), (1 ; +^∞).

1.

\(f'\left(x\right)=\left(x^2-1\right)\left(x-2\right)^2\left(x-3\right)\) có các nghiệm bội lẻ \(x=\left\{-1;1;3\right\}\)

Sử dụng đan dấu ta được hàm đồng biến trên các khoảng: \(\left(-1;1\right);\left(3;+\infty\right)\)

Hàm nghịch biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-1\right);\left(1;3\right)\)

2.

\(y'=4x^3-4x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=0\\x=1\end{matrix}\right.\)

Lập bảng xét dấu y' ta được hàm đồng biến trên \(\left(-1;0\right);\left(1;+\infty\right)\)

Hàm nghịch biến trên \(\left(-\infty;-1\right);\left(0;1\right)\)

TXĐ: D = R

+ Hàm số nghịch biến

⇔ y’ < 0

⇔ 1 – x2 < 0

⇔ x2 > 1

⇔ x ∈ (-∞ ; -1) ∪ (1; +∞).

+ Hàm số đồng biến

⇔ y’ > 0

⇔ 1 – x2 > 0

⇔ x2 < 1

⇔ x ∈ (-1; 1).

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1) và nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).