Ta có: A = 2⁸ + 2¹¹ + 2ⁿ = 2⁸.(1 + 2³ + 2^n-8) = (2³)².(1 + 2.2².1 + 2⁴ +2^n-8 - 2⁴) =  (2³)².((1 + 2²)² + 2^n-8 - 2⁴)

=> A là số chính phương <=> 2^n-8=2⁴=> n-8=4=> n=12

Ta có: A = 2⁸ + 2¹¹ + 2ⁿ = 2⁸.(1 + 2³ + 2^n-8) = (2³)².(1 + 2.2².1 + 2⁴ +2^n-8 - 2⁴) =  (2³)².((1 + 2²)² + 2^n-8 - 2⁴)

=> A là số chính phương <=> 2^n-8=2⁴=> n-8=4=> n=12

Giả sử 2⁸ + 2¹¹ + 2ⁿ = a² (a  N) thì

2ⁿ = a² – 48² = (a + 48) (a – 48)

2^p. 2^q = (a + 48) (a – 48) với p, q  N ; p + q = n và p > q

      a + 48 = 2^p  2^p - 2^q = 96 2^q (2^p-q – 1) = 2⁵.3

a – 48 = 2^q

 q = 5 và p – q =  2  p = 7

 n = 5 + 7 = 12

Thử lại ta có: 2⁸ + 2¹¹ + 2ⁿ = 80²

Đặt A = 2⁸ + 2¹¹ + 2ⁿ = (2⁴)².(1 + 8 + 2^n-8) = (2⁴)².(9 + 2^2n-8) 
Để A là SCP thì (9 + 2^n-8) phải là SCP 
Đặt k² = 9 + 2^2n-8 
=> k² - 3² = 2^n-8
=> (k - 3)(k + 3) = 2^n-8 (*) 
Xét hiệu (k - 3) - (k + 3) = 6 
=> k - 3 và k + 3 là các lũy thừa của 2 và có hiệu là 6 
=> k + 3 = 8 và k - 3 = 2 
=> k = 5; thay vào (*) ta có: 2.3 = 2^n-8
=> n = 12 
Thử lại ta có 2⁸ + 2¹¹ + 2¹² = 80² (đúng)

Giả sử : 2⁸ + 2¹¹  + 2ⁿ = a² với a \(\in\) N thì :

              2ⁿ  = a² - 48 \(\Leftrightarrow\) 2ⁿ  = ( a - 48 ) ( a + 48 )

Từ đó , ta có : a + 48 = 2^p 

                       a - 48 = 2^q  , với ^p , ^q \(\in\) N và p + q = n , p > q

       suy ra : 2^p - 2^q = 96 \(\Leftrightarrow\) 2^q( 2^{q - p} - 1 ) = 2⁵  . 3

          \(\Rightarrow\) q = 5 và p - q = 2 \(\Rightarrow\) p = 7 \(\Rightarrow\) n = 5 + 7 = 12

Thử lại ta có : 2⁸ + 2¹¹ + 2ⁿ = 80²                 

   Do đó , n = 12

HOK TỐT !!!

Gọi biểu thữ trên là A

Ta có: A = 2⁸ + 2¹¹ + 2ⁿ = 2⁸.(1 + 2³ + 2^n-8)

= (2³)².(1 + 2.2².1 + 2⁴ +2^n-8 - 2⁴)

=  (2³)².((1 + 2²)² + 2^n-8 - 2⁴)

=> A là số chính phương

<=> 2^n-8=2⁴

=> n-8=4

=> n=12

Giả sử \(A=n^2+4n+11\) là số chính phương

đặt \(n^2+4n+11=k^2>0\)

      \(\Rightarrow\left(n^2+4n+4\right)+7=k^2\\ \Rightarrow\left(n+2\right)^2-k^2=-7\\ \Rightarrow\left(n-k+2\right)\left(n+k+2\right)=-7\)

Ta có n,k>0⇒n+k+2>0; n-k+2<n+k+2; n-k+2,n+k+2∈Ư(-7)

Ta có bảng:

Vậy n=1

giải hộ tớ đi

giả sử \(2^8+2^{11}+2^n=a^2\Rightarrow2^n=a^2-\left(2^8+2^{11}\right)\)

hay \(2n=a^2-48^2=\left(a-48\right)\left(a+48\right)\)

Ta có: \(2^p=a+48;2^q=a-48\left(p,q\inℕ;p+q=n,p>q\right)\)

\(\Rightarrow2^p-2q=96\Leftrightarrow2^q.\left(2^{p-q}-1\right)=2^5.3\)

\(\Rightarrow q=5;p-q=2\Rightarrow p=7\Rightarrow n=7+5=12\)

Thử lại \(2^8+2^{11}+2^{12}=80^2\)