1.

Chọn điểm D như hình vẽ. Gọi E là giao điểm của AB và DC. 

Ta có: \(\widehat{ADE}\)là góc ngoài của tam giác ADC => \(\widehat{ADE}>\widehat{ACD}\)(1)

Tương tự \(\widehat{BDE}>\widehat{BCD}\)(2)

(1), (2) => \(\widehat{ADB}>\widehat{ACB}\)

Mà \(\widehat{ADB}=\widehat{ABD}\)

=> \(\widehat{ABC}>\widehat{ABD}=\widehat{ADB}>\widehat{ACB}\)

=> AC>AB

Xét tam giác ABC vuông tại A

Theo BĐT tam giác: \(AB< AC+BC\)

Và tam giác AHC vuông tại H có: \(AC< AH+CH\) (1)

\(\Rightarrow AB+AC< \left(AH+BC\right)+\left(AC+CH\right)\)

Hay \(AB+AC< \left(AH+CH+BH\right)+\left(AC+CH\right)\)

Hay \(AB+AC< AH+2CH+BH+AC\)

Bớt AC ở cả hai vế: \(AB< AH+2CH+BH\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AB+AC< 2AH+2CH+BH+CH\)

Hay \(AB+AC< 2AH+2CH+BC\)

Tới đây bí rồi.

b) Xét ΔBAH vuông tại H và ΔCAH vuông tại H có 

BA=CA(ΔBAC cân tại A)

AH chung

Do đó: ΔBAH=ΔCAH(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

Suy ra: BH=CH(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔDHB vuông tại D và ΔEHC vuông tại E có 

HB=HC(cmt)

\(\widehat{B}=\widehat{C}\)(ΔABC cân tại A)

Do đó: ΔDHB=ΔEHC(Cạnh huyền-góc nhọn)

Suy ra: HD=HE(Hai cạnh tương ứng)

Xét ΔHDE có HD=HE(cmt)

nên ΔHDE cân tại H(Định nghĩa tam giác cân)

câu a đâu rồi bạn ơi ???

a, Xét \(\Delta ABC\) có: 

\(BC^2=5^2=25\)

\(AB^2+AC^2=3^2+4^2=25\)

\(\Rightarrow BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\) vuông tại A  (định lí Pytago đảo)   (đpcm)

b, Ta có: \(\widehat{BAD}=90^o\) (vì \(\Delta ABC\) vuông tại A)

              \(\widehat{BED}=90^o\) (vì \(DE\perp BC\) tại E)

\(\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{BED}=90^o\)

Xét \(\Delta ABD\) và \(BDE\) có:

\(\widehat{BAD}=\widehat{BED}=90^o\) (chứng minh trên)

BD cạnh chung

\(\widehat{ABD}=\widehat{DBE}\) (vì BD là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\))

\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta EBD\)(cạnh huyền - góc nhọn)

\(\Rightarrow AD=DE\) (2 cạnh tương ứng)   (đpcm)

c, Ta có: \(\widehat{DAF}=90^o\) (vì kề bù với \(\widehat{BAD}=90^o\))

              \(\widehat{CED}=90^o\) (vì \(DE\perp BC\) tại E)

\(\Rightarrow\widehat{DEC}=\widehat{DAF}\)

Xét \(\Delta ADF\) và \(\Delta CDE\) có:

\(\widehat{DEC}=\widehat{DEF}\) (chứng minh trên)

AD = DE (vì \(\Delta ADF=\Delta EDC\))

\(\widehat{ADF}=\widehat{CDE}\) (2 góc đối đỉnh)

\(\Rightarrow\Delta ADF=\Delta EDC\left(g.c.g\right)\)   (đpcm)