Lời giải:

Ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ac=0(*)\).

Từ $(*)$ ta thấy: \(c=\frac{-ab}{a+b}< 0\) do $a,b>0$

\(c+a=\frac{-ac}{b}>0\) do $c< 0; a,b>0$

\(c+b=\frac{-bc}{a}>0\) do $c< 0; a,b>0$

Do đó:

\((*)\Leftrightarrow c^2+ab+bc+ac=c^2\)

\(\Leftrightarrow (c+a)(c+b)=c^2\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{(c+a)(c+b)}=|c|=-c\)

\(\Leftrightarrow 2\sqrt{(c+a)(c+b)}+2c=0\)

\(\Leftrightarrow (c+a)+(c+b)+2\sqrt{(c+a)(c+b)}=a+b\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{c+a}+\sqrt{c+b})^2=a+b\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{c+a}+\sqrt{c+b}=\sqrt{a+b}\) (đpcm)

\(\sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\)

\(\Leftrightarrow a+b=a+c+b+c+2\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)

\(\Leftrightarrow2c+2\sqrt{ab+bc+ca+c^2}=0\)

Theo giả thiết \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\)

Khi đó \(c=0?\)

Nhầm chỗ nào nhắc mình với nha mình cảm ơn nhiều

mình vẫn không phát hiện bạn nhầm chỗ nào

hình như là mình thấy bạn nhầm chỗ nào r

Khó nhỉ

khó thì mình mới nhờ các bạn chứ

Áp dụng bđt Cauchy, ta có:

\(\sqrt{\frac{a}{bc}}\)+\(\sqrt{\frac{b}{ca}}\)≥ \(2\sqrt{\sqrt{\frac{ab}{abc^2}}}\)= \(2\sqrt{\sqrt{\frac{1}{c^2}}}\)= \(2\sqrt{\frac{1}{c}}\) (vì c>0)

Tương tự: \(\sqrt{\frac{b}{ca}}\)+\(\sqrt{\frac{c}{ab}}\)≥ \(2\sqrt{\frac{1}{a}}\)

                \(\sqrt{\frac{c}{ab}}\)+\(\sqrt{\frac{a}{bc}}\)≥ \(2\sqrt{\frac{1}{b}}\)

Cộng vế theo vế của các bđt với nhau, ta có: \(2\)\(\left(\sqrt{\frac{a}{bc}}+\sqrt{\frac{b}{ca}}+\sqrt{\frac{c}{ab}}\right)\text{≥}\)\(2\left(\sqrt{\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{b}}+\sqrt{\frac{1}{c}}\right)\)

                                                             <=> \(\sqrt{\frac{a}{bc}}+\sqrt{\frac{b}{ca}}+\sqrt{\frac{c}{ab}}\text{≥}\)\(\sqrt{\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{b}}+\sqrt{\frac{1}{c}}\)(đpcm)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c

Lời giải:
Với $a,b,c>0$ dễ thấy $0< \frac{a}{a+2b}< 1$

$\Rightarrow 0< \sqrt{\frac{a}{a+2b}}< 1$

$\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{a+2b}}> \frac{a}{a+2b}$

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế suy ra:

$\text{VT}> \frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a}$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+2ba+b^2+2cb+c^2+2ac}=1$

Do đó $\text{VT}>1$ (đpcm)

Sử dụng BĐT AM-GM:

\(VT=\sum\limits_{cyc} \sqrt{\frac{a}{a+2b}} =\sum\limits_{cyc} \frac{a}{\sqrt{a(a+2b}}\geq \sum\limits_{cyc} \frac{2a}{2(a+b)}\)

\(=\sum\limits_{cyc} \frac{a^2}{a^2 +ab} \ge \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca} >\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca} = 1\) (đpcm)

P/s: Em không chắc lắm.

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\ge2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge1\)

Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z\ge1\)

\(P=\sqrt{x^2+2y^2}+\sqrt{y^2+2z^2}+\sqrt{z^2+2x^2}\)

\(\Rightarrow P\ge\sqrt{\frac{\left(x+2y\right)^2}{3}}+\sqrt{\frac{\left(y+2z\right)^2}{3}}+\sqrt{\frac{\left(z+2x\right)^2}{3}}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{\sqrt{3}}\left(3x+3y+3z\right)\ge\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\) hay \(a=b=c=3\)

ai giúp mình với ạ

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{2a+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{2b+c+1}}+\frac{1}{\sqrt{2c+a+1}}=A\\\sqrt{2a+b+1}+\sqrt{2b+c+1}+\sqrt{2c+a+1}=B\end{cases}}\)(thật ra cx ko cần đặt,mk đặt làm cho gọn hơn thôi ^^)

Cauchy-Schwarz: \(A\ge\frac{9}{B}\)

Xét: \(B^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(2a+b+1+2b+c+1+2c+a+1\right)=36\)

\(\Rightarrow B\le6\)

\(A\ge\frac{9}{B}\ge\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)

\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)