\(y'=3x^2-2\left(2m-1\right)x+2-m\)

Hàm có các cực trị dương khi pt \(y'=0\) có 2 nghiệm dương phân biệt

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=\left(2m-1\right)^2-3\left(2-m\right)>0\\x_1+x_2=\dfrac{2\left(2m-1\right)}{3}>0\\x_1x_2=\dfrac{2-m}{3}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4m^2-m-5>0\\m>\dfrac{1}{2}\\m< 2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\dfrac{5}{4}< m< 2\)

Hàm có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi:

\(-m\left(m+1\right)< 0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>0\\m< -1\end{matrix}\right.\)

Hàm có 2 cực tiểu và 1 cực đại khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}m>0\\2\left(m-1\right)m< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow0< m< 1\)

\(y'=3x^2-6x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow y_{CĐ}=y\left(0\right)=m\)

\(y_{CT}=y\left(2\right)=m-4\)

\(y_{CĐ}\) và \(y_{CT}\) trái dấu khi và chỉ khi:

\(m\left(m-4\right)< 0\Leftrightarrow0< m< 4\)

y' = 2cos2x - 2sin2x

y''=0 → -4sin2x - 4cos2x = 0

↔ -4sin2x - 4(cos²x - sin²x) = 0

↔ sin2x - cos²x + sin²x = 0

↔ sin2x + cos²x + 1 - cos²x = 0

↔ sin2x = -1 - cos²x + cos²x

↔ x = \(\dfrac{-\pi}{4}\) < 0

y_max = \(\dfrac{-\pi}{4}\)tại x = 0

Hàm \(f\left(\left|x\right|\right)\) có 5 điểm cực trị khi \(f\left(x\right)\) có 2 cực trị dương

\(\Rightarrow f'\left(x\right)=3x^2-4x+2-m=0\) có 2 nghiệm dương phân biệt

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=4-3\left(2-m\right)>0\\x_1+x_2=\dfrac{4}{3}>0\\x_1x_2=\dfrac{2-m}{3}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>\dfrac{2}{3}\\m< 2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\dfrac{2}{3}< m< 2\)