Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$x^2+2^2\geq 4x$

$4y^2+1\geq 4y$

$\Rightarrow x^2+4y^2+5\geq 4(x+y)$

$\Rightarrow P=x^2+4y^2+4xy\geq 4(x+y)-5+4xy=4(x+y+xy)-5=4.\frac{7}{2}-5=9$

Vậy $P_{\min}=9$. Giá trị này đạt tại $x=2; y=\frac{1}{2}$

Giúp mình câu này với ah. 

/\(2020\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{y^2+z^2}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\right)ápdụngBDT\)

\(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{y^2+z^2}+\dfrac{1}{x^2+z^2}\ge\dfrac{9}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\dfrac{9}{2\cdot2020}\)

\(ápdụngBĐTcosi\)

\(x^3+y^3+z^3\ge3xyz\)

\(\)=> VP\(\ge\) 9/2

\(M=\dfrac{\dfrac{1}{16}}{x^2}+\dfrac{\dfrac{1}{4}}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+1\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=\dfrac{7}{4}\)

\(M_{min}=\dfrac{7}{4}\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{\sqrt{2}};1\right)\)

\(1=x+y+3xy\le x+y+\dfrac{3}{4}\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow3\left(x+y\right)^2+4\left(x+y\right)-4\ge0\)

\(\Rightarrow3\left(x+y+2\right)\left(x+y-\dfrac{2}{3}\right)\ge0\)

\(\Rightarrow x+y\ge\dfrac{2}{3}\) \(\Rightarrow\dfrac{1}{x+y}\le\dfrac{3}{2}\)

Đồng thời: \(x^2+y^2\ge\dfrac{1}{2}\left(x+y\right)^2\ge\dfrac{1}{2}.\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{2}{9}\)

\(\Rightarrow-\left(x^2+y^2\right)\le-\dfrac{2}{9}\)

Từ đó ta có:

\(A=\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}+\dfrac{1-\left(x+y\right)}{x+y}=\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}+\dfrac{1}{x+y}-1\)

\(A\le\sqrt{2\left[2-\left(x^2+y^2\right)\right]}+\dfrac{1}{x+y}-1\le\sqrt{2\left(2-\dfrac{2}{9}\right)}+\dfrac{3}{2}-1=\dfrac{3+8\sqrt{2}}{6}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{3}\)

Áp dụng bđt : \(\dfrac{1}{a}\)+ \(\dfrac{1}{b}\) ≥ \(\dfrac{4}{a+b}\)(dấu "=" xảy ra ⇔ a=b)

⇒ P= \(\dfrac{1}{x+1}\)+ \(\dfrac{1}{y+2}\) ≥ \(\dfrac{4}{x+1+y+2}\) = \(\dfrac{4}{3+3}\) = \(\dfrac{2}{3}\)

Vậy P_min=\(\dfrac{3}{2}\) ; dấu '=" xảy ra ⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=y+2\\x+y=3\end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\)

Bạn cần nêu rõ ra gt đầu là \(0\le x< 1\) và \(2\leq y<3\) hay là \(0\le x< 1,2=\dfrac{6}{5}\le y< 3\)

\(1\ge x+\dfrac{1}{y}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{y}}\Rightarrow\dfrac{x}{y}\le\dfrac{1}{4}\Rightarrow\dfrac{y}{x}\ge4\)

\(P=\dfrac{1-\dfrac{2y}{x}+2\left(\dfrac{y}{x}\right)^2}{1+\dfrac{y}{x}}\)

Đặt \(\dfrac{y}{x}=a\ge4\Rightarrow P=\dfrac{2a^2-2a+1}{a+1}=2a-4+\dfrac{5}{a+1}\)

\(P=\dfrac{a+1}{5}+\dfrac{5}{a+1}+\dfrac{9}{5}.a-\dfrac{21}{5}\ge2\sqrt{\dfrac{5\left(a+1\right)}{5\left(a+1\right)}}+\dfrac{9}{5}.4-\dfrac{21}{5}=5\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=4\) hay \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{2};2\right)\)

đây là những món quà mà bn sẽ nhận đc: 1: áo quần 2: tiền 3: đc nhiều người yêu quý 4: may mắn cả 5: luôn vui vẻ trong cuộc sống 6: đc crush thích thầm 7: học giỏi 8: trở nên xinh đẹp phật sẽ ban cho bn những điều này nếu cậu gửi tin nhắn này cho 25 người,

Áp dụng BĐT cô si với ba số không âm ta có :

$\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}+\frac{x+1}{8}+\frac{x+1}{8}\ge 3\sqrt[3]{3\frac{1}{64}}=\frac{3}{4}$

=> $\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}\ge \frac{3}{4}-\frac{x+1}{4}$ (1)

Dấu '' = '' xảy ra khi x = 1 

CM tương tự ra có " $\frac{1}{{\left(y+1\right)}^2}\ge \frac{3}{4}-\frac{y+1}{4}$(2) ; $\frac{1}{{\left(z+1\right)}^2}\ge \frac{3}{4}-\frac{z+1}{4}$ (3)

Dấu ''= '' xảy ra khi y = 1 ; z = 1 

Từ (1) (2) và (3) => $\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}+\frac{1}{{\left(y+1\right)}^2}+\frac{1}{{\left(z+1\right)}^2}\ge \frac{3}{4}\cdot 3-\frac{x+y+z+3}{4}$$\ge \frac{9}{4}-\frac{3\sqrt[3]{3xyz}+3}{4}=\frac{9}{4}-\frac{6}{4}=\frac{3}{4}$

BĐT được chứng minh 

Dấu '' = '' của bất đẳng thức xảy ra khi x =y =z = 1

:()