Áp dụng bđt AM - GM ta có :

\(A=\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{a+c-b}+\dfrac{c}{b+a-c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{abc}{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(b+a-c\right)}}\)

Ta có : \(\left(b+c-a\right)+\left(a+c-b\right)\ge2\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)}\)

\(\Leftrightarrow2c\ge2\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)}\Rightarrow c\ge\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)}\)(1)

Tương tự ta có \(b\ge\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(b+a-c\right)}\) (2) và \(a\ge\sqrt{\left(a+c-b\right)\left(b+a-c\right)}\) (3)

Nhân các vế tương ứng của (1);(2);(3) lại ta được :

\(abc\ge\sqrt{\left[\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(b+a-c\right)\right]^2}=\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(b+a-c\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{abc}{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(b+a-c\right)}\ge1\)

\(\Rightarrow A\ge3\sqrt[3]{\dfrac{abc}{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(b+a-c\right)}}\ge3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\) hay tam giác độ dài 3 cạnh a;b;c là tam giác đều

Bài2 , 

Ta có\(sin_P^2+cos_P^2=1\)

mà \(2\left(sin_P^2+cos_P^2\right)\ge\left(sin_P+cos_p\right)^2\Rightarrow\left(sin_p+cos_p\right)\le\sqrt{2}\)

^_^

Đáp án B.

a) Xét \(\Delta MBD\)và \(\Delta MAC\)

có: \(\widehat{MAC}=\widehat{MBD}\)( cùng chắn cung MC)

\(\widehat{BMD}=\widehat{AMC}\)( cung AB=cung AC vì AB=AC)

=>  \(\Delta MBD\)~ \(\Delta MAC\)

b) Từ câu a)_

=> \(\frac{MB}{MA}=\frac{BD}{AC}\)(1)

\(\frac{MC}{MA}=\frac{MD}{MB}\)(2)

Dễ dàng chứng minh đc:

\(\Delta BDM~\Delta ADC\)

=> \(\frac{MD}{MB}=\frac{DC}{AC}\)(3)

Từ (1), (2), (3)

=> \(\frac{MB}{MA}+\frac{MC}{MA}=\frac{BD}{AC}+\frac{CD}{AC}=\frac{BC}{AC}\)\(=\frac{BC}{AB}\)

c) Lấy điểm E thuộc đoạn

Bày này chỉ có đạt giá trị lớn nhất thôi nhé ! Bạn xem lại đề !

Lời giải :

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\) \(\Rightarrow AM\) không đổi.

Kẻ \(KM\perp DE\)

Khi đó tứ giác \(BDEC\) là hình thang. \(\left(BD//KM//EC\right)\)

Xét hình thang \(BDCE\) có : \(M\) là trung điểm của \(BC,\) \(BD//KM//EC\) ( cmt )

\(\Rightarrow K\) là trung điểm của \(DE\)

\(\Rightarrow KM\) là đường trung bình của hình thang \(BDEC\)

\(\Rightarrow BD+EC=2.KM\)

Mặt khác ta có : \(KM\le AM\) nên \(BD+EC\le2AM\) 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow xy\perp AM\)

Vậy \(BD+CE\) đạt giá trị lớn nhất là \(2AM\) \(\Leftrightarrow xy\perp AM\)

Đặt b + c - a = x; c + a - b = y; a + b - c = z. (x, y, z > 0)

Ta có \(A=\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{4b}{c+a-b}+\dfrac{9c}{a+b-c}=\dfrac{y+z}{2x}+\dfrac{2\left(z+x\right)}{y}+\dfrac{9\left(x+y\right)}{2z}=\left(\dfrac{y}{2x}+\dfrac{2x}{y}\right)+\left(\dfrac{z}{2x}+\dfrac{9x}{2z}\right)+\left(\dfrac{9y}{2z}+\dfrac{2z}{y}\right)\ge2\sqrt{\dfrac{y}{2x}.\dfrac{2x}{y}}+2\sqrt{\dfrac{z}{2x}.\dfrac{9x}{2z}}+2\sqrt{\dfrac{9y}{2z}.\dfrac{2z}{y}}=2+3+6=11\).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(3y=2z=6x\Leftrightarrow3\left(c+a-b\right)=2\left(b+c-a\right)=6\left(a+b-c\right)\)

\(\Leftrightarrow a=\dfrac{5}{6};b=\dfrac{2}{3};c=\dfrac{1}{2}\).