Áp dụng bđt AM - GM ta có :
\(A=\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{a+c-b}+\dfrac{c}{b+a-c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{abc}{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(b+a-c\right)}}\)
Ta có : \(\left(b+c-a\right)+\left(a+c-b\right)\ge2\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)}\)
\(\Leftrightarrow2c\ge2\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)}\Rightarrow c\ge\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)}\)(1)
Tương tự ta có \(b\ge\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(b+a-c\right)}\) (2) và \(a\ge\sqrt{\left(a+c-b\right)\left(b+a-c\right)}\) (3)
Nhân các vế tương ứng của (1);(2);(3) lại ta được :
\(abc\ge\sqrt{\left[\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(b+a-c\right)\right]^2}=\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(b+a-c\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{abc}{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(b+a-c\right)}\ge1\)
\(\Rightarrow A\ge3\sqrt[3]{\dfrac{abc}{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(b+a-c\right)}}\ge3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\) hay tam giác độ dài 3 cạnh a;b;c là tam giác đều
