DE // BC (theo cách vẽ)

⇒ ∠ I 1 =  ∠ B 1 (hai góc so le trong)

Mà  ∠ B 1 =  ∠ B 2 (gt)

Suy ra:  ∠ I 1 =  ∠ B 2

Do đó: ∆ BDI cân tại D ⇒ DI = DB (1)

Ta có:  ∠ I 2 =  ∠ C 1 (so le trong)

∠ C 1 =  ∠ C 2 (gt)

Suy ra:  ∠ I 2 =  ∠ C 2 do đó:  ∆ CEI cân tại E

⇒ IE = EC (2)

DE = DI + IE (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: DE = BD + CE

b: Xét ΔDBI có 

\(\widehat{DBI}=\widehat{DIB}\)

nên ΔDBI cân tại D

Xét ΔEIC có \(\widehat{EIC}=\widehat{ECI}\)

nên ΔEIC cân tại E

Ta có: DE=DI+IE

nên DE=DB+EC

Vậy: BDEC là hình thang có một cạnh đáy bằng tổng hai cạnh bên

\(a,\) Các hình thang \(BDEC;BDIC;BIEC\)

\(b,DE//BC.nên.\widehat{B_1}=\widehat{I_1}\left(so.le.trong\right)\)

Mà \(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\left(t/c.phân.giác\right)\) nên \(\widehat{B_2}=\widehat{I_1}\Rightarrow\Delta DIB\) cân tại D

\(\Rightarrow DI=DB\left(1\right)\)

\(DE//BC.nên.\widehat{C_1}=\widehat{I_2}\left(so.le.trong\right)\)

Mà \(\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\left(t/c.phân.giác\right)\) nên \(\widehat{C_2}=\widehat{I_2}\Rightarrow\Delta IEC\) cân tại E

\(\Rightarrow EI=EC\left(2\right)\\ \left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow DI+IE=BD+EC\\ \Rightarrow DE=BD+CE\left(Đpcm\right)\)

Đường thẳng đi qua I song song với BC cắt AB tại D và AC tại E, ta có các hình thang sau: BDEC, BDIC, BIEC