Với điều kiện \(ab+bc+ca+abc=4\) thì \(VP-VT=\frac{bc^2\left(a-b\right)^2+ca^2\left(b-c\right)^2+ab^2\left(c-a\right)^2}{\left(a^2+2b\right)\left(b^2+2c\right)\left(c^2+2a\right)}\ge0\)

Cauchy ngược dấu + Svacxo + gt coi 

Thật ra bài này là một câu trắc nghiệm thôi và mình muốn có lời giải rõ ràng. Có 4 đáp án các bạn chọn và giải rõ ràng ra nhé.

Hệ số k tốt nhất là:

A. \(\frac{1}{2}\)

B. \(\frac{1}{3}\)

C.  \(\frac{1}{4}\)

D. \(\frac{1}{5}\)

K biết

...........

...

\(k_{max}=\frac{1}{4}\). Cách làm là dùng Maple. Maple 17 mất gần 1 phút để giải bài này bằng chương trình do mình tổng hợp.

Vô thống kê hỏi đáp xem ảnh nha.

\(K=\frac{a^2}{c\left(a^2+c^2\right)}+\frac{b^2}{a\left(a^2+b^2\right)}+\frac{c^2}{b\left(b^2+c^2\right)}\left(a,b,c>0\right)\).

Ta có:

\(\frac{a^2}{c\left(a^2+c^2\right)}=\frac{\left(a^2+c^2\right)-c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}=\frac{a^2+c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}-\frac{c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}\)\(=\frac{1}{c}-\frac{c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}\).

Vì \(a,c>0\)nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:

\(a^2+c^2\ge2ac\).

\(\Leftrightarrow c\left(a^2+c^2\right)\ge2ac^2\).

\(\Rightarrow\frac{1}{c\left(a^2+c^2\right)}\le\frac{1}{2ac^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}\le\frac{c^2}{2ac^2}=\frac{1}{2a}\).

\(\Leftrightarrow-\frac{c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}\ge-\frac{1}{2a}\).

\(\Leftrightarrow\frac{1}{c}-\frac{c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}\ge\frac{1}{c}-\frac{1}{2a}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{c\left(a^2+c^2\right)}\ge\frac{1}{c}-\frac{1}{2a}\left(1\right)\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=c>0\) .

Chứng minh tương tự, ta được:

\(\frac{b^2}{a\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{a}-\frac{1}{2b}\left(a,b>0\right)\left(2\right)\) 

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b>0\)

Chứng minh tương tự, ta dược:

\(\frac{c^2}{b\left(b^2+c^2\right)}\ge\frac{1}{b}-\frac{1}{2c}\left(b,c>0\right)\left(3\right)\).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow b=c>0\).

Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\), ta được:

\(\frac{a^2}{c\left(a^2+c^2\right)}+\frac{b^2}{a\left(a^2+b^2\right)}+\frac{c^2}{b\left(b^2+c^2\right)}\ge\)\(\frac{1}{c}-\frac{1}{2a}+\frac{1}{a}-\frac{1}{2b}+\frac{1}{b}-\frac{1}{2c}\).

\(\Leftrightarrow K\ge\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\).

\(\Leftrightarrow K\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\).

\(\Leftrightarrow K\ge\frac{1}{2}\left(\frac{ab+bc+ca}{abc}\right)\).

Mà \(ab+bc+ca=3abc\)(theo đề bài).

Do đó \(K\ge\frac{1}{2}.\frac{3abc}{abc}\).

\(\Leftrightarrow K\ge\frac{3abc}{2abc}\).

\(\Leftrightarrow K\ge\frac{3}{2}\).

Dấu bằng xảy ra.

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c>0\\ab+bc+ca=3abc\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=1\).

Vậy \(minK=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\).

Ta co: \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left[\left(a^2+b^2+c^2\right)-ab-ac-bc\right]\\ \)

{Có thể c/m bằng cách ghép--> không thuộc 7 HDT , tuy nhiên cũng nên nhớ }

\(B=\dfrac{\left(a+b+c\right)\left[\left(a^2+b^2+c^2\right)-ab-ac-bc\right]}{\left[\left(a^2+b^2+c^2\right)-ab-ac-bc\right]}=\left(a+b+c\right)=2016\)

B=2016

\(2T=\frac{a^2-2ac+c^2+c^2-2bc+b^2+a^2-2ab+b^2}{\left(a-c\right)\left(a+c\right)-2b\left(a-c\right)}\)

\(2T=\frac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{\left(a-c\right)\left(a-b+c-b\right)}\)

Theo đề bài ta có:\(\hept{\begin{cases}a-b=4\\b-c=2\end{cases}\Rightarrow}a-c=6\)

\(\Rightarrow2T=\frac{4^2+2^2+6^2}{6\cdot\left(4-2\right)}=\frac{14}{3}\)

Từ \(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}\Leftrightarrow\frac{abc}{ac+bc}=\frac{abc}{ab+ac}\Leftrightarrow bc=ab\Rightarrow a=c\)(1)

Tương tựi ta cũng có : \(\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\end{cases}}\)(2)

Từ (1);(2) \(\Rightarrow a=b=c\)Thay vào M ta được :\(M=\frac{a.a+a.a+a.a}{a^2+b^2+c^2}=1\)