1) Cho tam giác ABC có hai đường phân giác AD và BE. Nếu \(\widehat{ADB}=\widehat{BEC}\) thì tổng \(\widehat{A}+\widehat{B}=?\)
2) Cho x, y thỏa mãn đẳng thức \(\frac{1+3y}{12}=\frac{1+5y}{5x}=\frac{1+7y}{4x}\). Khi đó tổng x + y = ?
5. Cho tam giác ABC; 2 đường phân giác AD, BE; với D ϵ BC, E ϵ AC. CMR:
a) \(\widehat{ADC}=\widehat{BEC}\) thì \(\widehat{A}=\widehat{B}\).
b) \(\widehat{ADB}=\widehat{BEC}\) thì \(\widehat{A}+\widehat{B}=120^o\).
a) Để chứng minh a) ta cần chứng minh rằng góc ADC bằng góc BEC.
Vì AD là đường phân giác của góc BAC, nên ta có:
∠DAB = ∠DAC (1)
Tương tự, vì BE là đường phân giác của góc ABC, nên ta có:
∠CBA = ∠CBE (2)
Từ (1) và (2), ta có:
∠DAB + ∠CBA = ∠DAC + ∠CBE
∠DAB + ∠CBA = ∠BAC + ∠ABC
∠DAB + ∠CBA = ∠ABC + ∠BAC
Do đó, góc ADC bằng góc BEC.
Tiếp theo, để chứng minh rằng góc A bằng góc B, ta sử dụng định lý phụ của đường phân giác:
∠DAB = ∠DAC
∠EBA = ∠EBC
Vì ∠ADC = ∠BEC (đã chứng minh ở trên), nên ta có:
∠DAC + ∠ADC = ∠DAB + ∠ABC
∠DAB + ∠ABC = ∠DAC + ∠ADC
Từ đây, suy ra ∠A = ∠B.
Vậy, điều phải chứng minh a) đã được chứng minh.
b) Để chứng minh b), ta cần chứng minh rằng góc ADB bằng góc BEC.
Từ ∠ADB = ∠BEC (đã chứng minh ở a)), ta có:
∠ADB + ∠BEC = ∠BEC + ∠BEC
∠ADB + ∠BEC = 2∠BEC
∠ADB = ∠BEC
Do đó, góc ADB bằng góc BEC.
Tiếp theo, ta có:
∠A + ∠B + ∠C = 180° (định lý tổng các góc trong tam giác)
∠ADB + ∠B + ∠BEC = 180°
∠BEC + ∠B + ∠BEC = 180° (vì ∠ADB = ∠BEC)
2∠BEC + ∠B = 180°
2∠BEC = 180° - ∠B
∠BEC = (180° - ∠B) / 2
∠BEC = 90° - ∠B/2
∠BEC = 90° - ∠A/2 (vì ∠A = ∠B)
∠A/2 + ∠B/2 + ∠C = 90°
∠A/2 + ∠B/2 + ∠C = 90° - ∠A/2
∠A/2 + ∠A/2 + ∠C = 90° - ∠A/2
∠A + ∠C = 90° - ∠A/2
∠A + ∠C + ∠A/2 = 90°
2∠A + ∠C = 180°
∠A + ∠C = 180° - ∠A
∠A + ∠C = ∠B
∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠A + ∠B + ∠C = 120° + 60°
∠A + ∠B + ∠C = 180°
Do đó, ∠A + ∠B = 120°.
Vậy, điều phải chứng minh b) đã được chứng minh.
Cho tam giác ABC có AD và BE là phân giác
Nếu \(\widehat{ADC}=\widehat{BEC}\) thì \(\widehat{A}=\widehat{B}\)
Nếu \(\widehat{ADB}=\widehat{BEC}\) thì \(\widehat{A}+\widehat{B}=120\) độ
sao bn ghi đề j kì wa z cụt ngủn mà ko rõ ý thế này ai mà giải cho ra đc?
Giải :
câu a )
Gọi O là giao điểm của BE và AD
Ta có: \(\widehat{OEC}=\widehat{O_1}+\widehat{EAO}\) ( góc ngoài tại đỉnh E của \(\Delta OEA\) ) (1)
\(\widehat{ODC}=\widehat{O_2}+\widehat{OBD}\) ( góc ngoài tại đỉnh D của \(\Delta ODB\) )
mà \(\widehat{O_1}=\widehat{O_2}\) ( đối đỉnh )(2)
\(\widehat{OEC}=\widehat{ODC}\) [ giả thiết ] (3)
Từ (1) , (2) và (3) \(\Rightarrow\widehat{OBD}=\widehat{EAO}\)
Từ đây thì dễ chứng minh \(\widehat{CAB}=\widehat{CBA}\) rồi
b)
Xét \(\Delta BDA\) có : \(\widehat{D_1}+\widehat{A_2}+\widehat{CBA}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{D_1}=180^o-\widehat{A_2}-\widehat{CBA}\)(1)
Ta có : \(\widehat{E_1}=\widehat{B_2}+\widehat{CAB}\) ( góc ngoài ) (2)
mà \(\widehat{D_1}=\widehat{E_1}\) (3)
Từ(1) , (2) và (3) \(\Rightarrow180^o-\widehat{A_2}-\widehat{CBA}=\widehat{B_2}+\widehat{CAB}\)
\(\Rightarrow-\widehat{A_2}-\widehat{CBA}-\widehat{B_2}-\widehat{CAB}=-180^o\)
\(\Rightarrow-\left(\widehat{A_2}+\widehat{CBA}+\widehat{B_2}+\widehat{CAB}\right)=-180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{A_2}+\widehat{CBA}+\widehat{B_2}+\widehat{CAB}=180^o\)
\(\Rightarrow3\widehat{A_2}+3\widehat{B_2}=180^o\)
\(\Rightarrow3\left(\widehat{A}_2+\widehat{B}_2\right)=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{A_2}+\widehat{B_2}=60^o\)
Đến đây bạn có thể tự làm ..
:)
1. Cho tam giác ABC có \(\widehat{C}< \widehat{B}< 90^o\). Vẽ đường phân giác AD và đường cao AH của tam giác ABC. CMR: \(\widehat{DAH}=\frac{1}{2}\left(\widehat{ABC}-\widehat{ACB}\right)\)
cho ΔABC có hai đường phân giác AD và BE. CMR:
a) Nếu \(\widehat{ADC}=\widehat{BEC}\) thì \(\widehat{BAC}=\widehat{ABC}\)
b) Nếu \(\widehat{ADC}=\widehat{BEC}\) thì \(\widehat{BAC}+\widehat{ABC}=120^o\)
1.Cho tam giác ABC có \(\widehat{B}>90^o\). Vẽ đường phân giác AD và đường cao AH của tam giác ABC. CMR:
a) \(_{2\widehat{HAD}=\widehat{HAB}+\widehat{HAC}}\)
b) \(\widehat{ABC}=90^o+\widehat{HAB}\) và \(\widehat{ACB}=90^o-\widehat{HAC}\)
c)\(\widehat{DAH}=\frac{1}{2}\left(\widehat{ABC}-\widehat{ACB}\right)\)
Cho tam giác ABC, phân giác AD.
CMR: a) Nếu \(\widehat{A}\)= \(^{120^o}\) thì \(\frac{1}{AD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\).
b) Nếu \(\widehat{B}=90^o\)thì \(\frac{\sqrt{2}}{AB}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\).
c) Nếu \(\widehat{C}=60^o\)thì \(\frac{\sqrt{3}}{AD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\).
Cho tam giác ABC . Lay D thuộc BC. Kẻ Bx//AD và Bx cắt CA ở I . Kẻ Cy //AD và Cy cắt BA ở K
a) CM: \(\frac{1}{BI}+\frac{1}{CK}=\frac{1}{AD}\)
b) Nếu \(\widehat{BAC=120^0}\)và AD là đường phân giác tam giác ABC
CM: \(\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{1}{AO}\)
c) Nếu \(\widehat{BAC=90^0}\)và AD là đường phân giác tam giác ABC
CM: \(\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{AD}\)
1) Cho tam giác ABC, tia AD là tia phân giác của \(\widehat{A}\), biết \(\widehat{ADB}\)= \(80^0\), \(\widehat{B}\)= \(\frac{3}{2}\)\(\widehat{C}\). Tính các góc của tam giác ABC
2) Cho tam giác ABC có \(\widehat{A}\)= \(80^0\). Tia phân giác của \(\widehat{B}\)và \(\widehat{C}\) cắt nhau tại I. Tính \(\widehat{BIC}\)
Do AD là tia phân giác A => \(\widehat{A_1}=\widehat{A}_2\)
Xét tam giác ADB có:\(\widehat{A_1}+\widehat{ADB}+\widehat{B}=180\)
Hay A1 + 80 + B = 180 => A1 + B = 100 (1)
Do góc ADB + ADC = 180 (Kề bù)
=> 80+ ADC = 180
ADC = 100
Xét tam giác ADC có: \(\widehat{A_2}+\widehat{ADC}+\widehat{C}=180\)
A2 + 100 + C = 180
A2 + C = 80 (2)
Từ 1, 2, có: A2 + C + 20 = A1 + B = 100
=> A1 + C + 20 = A1 + 3/2C
3/2C - C = 20
=> 1/2C= 20
C= 40
Mà B = 3/2 C => B = 3/2 . 40 = 60
Xét tam giác ABC có: A+B+C = 180
hay A + 60+40=180
A= 80
Vậy ...........
2/
Xét tam giác ABC có : A + B + C = 180 => B+C = 180 - A => B+C = 180 - 80 => B+C = 100
Do BI;CI lần lượt là phân giác của B; C => B1 = B2 = 1/2 B ; C1 = C2 = 1/2 C
Xét tam giác IBC có:
B2+BIC+C2 = 180
(B2+C2) + BIC = 180
1/2 B + 1/2 C + BIC = 180
1/2 ( B+C) +BIC = 180
hay 1/2 . 100 + BIC = 180
BIC = 180 - 50
BIC = 130
Vậy ...
2) Cho tam giác ABC có \(\widehat{BAC=120^o}\),AD là đường phân giác của \(\widehat{BAC}\)
CM: \(\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{1}{AD}\)
Từ D kẻ DH // AC
Do DH // AC : \(\Rightarrow\) \(\widehat{D_1}=\widehat{A_2}=60^0\)
Vì AD là đường phân giác \(\widehat{BAC}\):
\(\Rightarrow\)\(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}=60^0\)
\(\Rightarrow\)\(\widehat{D_1}=\widehat{A_1}=60^0\)
\(\Rightarrow\) \(\Delta AH\text{D}\) là tam giác đều
\(\Rightarrow\)\(AH=H\text{D}=A\text{D}\)
Do DH // AH :
\(\Rightarrow\)\(\frac{BH}{AB}=\frac{H\text{D}}{AC}\)
\(\frac{AB-AH}{AB}=\frac{H\text{D}}{AC}\)
\(\frac{AB}{AB}-\frac{AH}{AB}=\frac{H\text{D}}{AC}\)
\(1-\frac{AH}{AB}=\frac{H\text{D}}{AC}\)
\(1=\frac{H\text{D}}{AC}+\frac{AH}{AB}\)
\(1=\frac{A\text{D}}{AC}+\frac{A\text{D}}{AB}\) ( VÌ AH = HD = AD )
\(1=A\text{D}.\left(\frac{1}{AC}+\frac{1}{AB}\right)\)
\(\frac{1}{A\text{D}}=\frac{1}{AC}+\frac{1}{AB}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{1}{A\text{D}}\)( ĐPCM )