\(\sqrt{\frac{x}{y+z}}=\frac{2x}{2\sqrt{x\left(y+z\right)}}\ge\frac{2x}{x+y+z}\)

Tương tự: \(\sqrt{\frac{y}{z+x}}\ge\frac{2y}{x+y+z}\) ; \(\sqrt{\frac{z}{x+y}}\ge\frac{2z}{x+y+z}\)

Cộng vế với vế:

\(\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{z+x}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\)

Dấu "=" không xảy ra

\(\sqrt{x\left(y+z\right)}\le\frac{x+y+z}{2}\)( Cauchy)

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{x}{y+z}}=\frac{x}{\sqrt{x\left(y+z\right)}}\le\frac{x}{\frac{x+y+z}{2}}=\frac{2x}{x+y+z}\)

Chứng minh tương tự:

\(\sqrt{\frac{y}{x+z}}\le\frac{2y}{x+y+z};\sqrt{\frac{z}{x+y}}\le\frac{2z}{x+y+z}\)

Cộng theo vế suy ra đocn. Dấu "=" ko xảy ra

Ta có : \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x^2+y^2}{xy}\)

Theo bất đẳng thức Cô si ta có : 

     \(x^2+y^2\ge2xy\)dấu = khi x=y

\(\Rightarrow\frac{x^2+y^2}{xy}\ge\frac{2xy}{xy}=2\)

\(\Rightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\) dấu = khi x=y

1/ Chú ý rằng \(\frac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\Rightarrow3\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2\)

Áp dụng vào ta có: \(O^2=\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\right)^2\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)=3\)

Do đó \(O\ge\sqrt{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

2/ Ý tưởng hay bài toán đẹp:D

VT=\(\frac{c+ab}{a+b}+\frac{a+bc}{b+c}+\frac{b+ca}{a+c}\)

\(=\frac{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{a+b}+\frac{\left(b+a\right)\left(c+a\right)}{b+c}+\frac{\left(a+b\right)\left(c+b\right)}{a+c}\)

Đến đây ok rồi:

\(\frac{1}{2}\left[\frac{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{a+b}+\frac{\left(b+a\right)\left(c+a\right)}{b+c}\right]\ge\sqrt{\left(b+c\right)^2}=b+c\)

Rồi tương tự 2 BĐT còn lại và cộng theo vế thu được

\( VT\ge2\left(a+b+c\right)=2\)

Đẳng thức xảy ra khi a =b=c=1/3

P/s: Em ko chắc chút nào!

\(O^2=\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\right)^2\ge3\left(\frac{xzy^2}{xz}+\frac{xyz^2}{xy}+\frac{x^2yz}{yz}\right)=3\left(x^2+y^2+z^2\right)=3\)

\(\Rightarrow O\ge\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

2/ \(\frac{ab+c}{a+b}=\frac{ab+c\left(a+b+c\right)}{a+b}=\frac{ab+ac+bc+c^2}{a+b}=\frac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{a+b}\)

Đặt \(\left(a+b;b+c;c+a\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=2\)

BĐT trở thành: \(P=\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge2\) với \(x+y+z=2\)

Ta có: \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2\sqrt{\frac{xzy^2}{xz}}=2y\); \(\frac{xy}{z}+\frac{zx}{y}\ge2x\); \(\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge2z\)

\(\Rightarrow2P\ge2\left(x+y+z\right)\Rightarrow P\ge x+y+z=2\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\) hay \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Ta có: \(\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)=\left(1+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{x}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)=2+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}\)

\(=2+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\right)\)

Ta chứng minh bất đẳng thức :

\(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge\frac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)

Vì x, y, z đóng vai trò như nhau nên ta chứng minh bất đẳng thức phụ:

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}\)

Xét:

 \(3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)=\left(\frac{2x}{y}+\frac{y}{z}\right)+\left(\frac{2y}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{2z}{x}+\frac{x}{y}\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{2x}{y}+\frac{y}{z}=\frac{x}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{x.x.y}{y.y.z}}=3\sqrt[3]{\frac{x.x.x}{xyz}}=3\frac{x}{\sqrt[3]{xyz}}\)

Tương tự như thế ta có:

\(3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\ge3.\frac{x}{\sqrt[3]{xyz}}+3\frac{y}{\sqrt[3]{xyz}}+3\frac{z}{\sqrt[3]{xyz}}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}\)

Như vậy:

\(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge\frac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)

=> \(\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)\ge2+\frac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)

Dấu "=" khi x=y=z

Câu hỏi của Incursion_03 - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

https://olm.vn/hoi-dap/detail/221691630609.html giúp em với ạ. Thanks.

4a) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}\times\frac{y}{x}}=2\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y > 0