Cho tam giac ABC nhọn, tìm vị trí của M trong tam giác ABC sao cho tích AM.BM.CM đạt giá trị lớn nhất
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, BC khác đường kính nằm cố định trên đường tròn, A thay đổi trên cung lớn BC. Tìm ra vị trí của điểm A sao cho:
a, Diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất
b, Chu vi tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất
a: Kẻ BD vuông góc AC,CE vuông góc AB
góc BEC=góc BDC=90 độ
=>BEDC nội tiếp
=>góc AED=góc ACB
=>ΔAED đồng dạng vơi ΔACB
Tâm M của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDCE là trung điểm của BC
Gọi H là giao của BD và CE
=>AH vuông góc BC tại N
Gọi giao của OM với (O) là A'
ΔOBC cân tại O
=>OM vuông góc BC
AN<=A'M ko đổi
=>\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AN\cdot BC< =\dfrac{1}{2}\cdot A'M\cdot BC_{kođổi}\)
Dấu = xảy ra khi A trùng A'
=>A là điểm chính giữa của cung BC
Cho tam giác ABC đều. M là một điểm nằm trong tam giác. Lấy điểm D, E, F lần lượt thuộc AC, AB, BC sao cho DE=AM, DF=CM, EF=BM. Xác định vị trí của M để diện tích tam giác DEF đạt giá trị lớn nhất.
Cho đoạn thẳng BC cố định, A là điểm di động sao cho tam giác ABC nhọn. AA' là đường cao và H là trực tâm của tam giác ABC. Xác định vị trí diểm A để AA'.HA' đạt giá trị lớn nhất.
Cho đường tròn (0) có dây BC không là đường kính .Lấy điểm A bất kì trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn .Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Xác định vị trí của A sao cho tổng
HA+HB+HC đạt giá trị lớn nhất
Vẽ các đường kính AM, BN, CP của (O). Dễ cm được BMCH, CNAH,APBH là các hình bình hành => AH = CN; BH = CM; CH = BM
=> AH + BH + CH = CN + CM + BM
Vì BC cố định nên CN không đổi => (AH + BH + CH) max khi (CM + BM) max. Ta sẽ cm rằng điều đó xảy ra khi M trùng điểm chính giữa cung nhỏ BC.
Thật vậy gọi Q là điểm chính giữa cung nhỏ BC. Kéo dài BQ đoạn QD = BQ = CQ, kéo dài BM đoạn ME = MC => BD = BQ + CQ = 2BQ và BE = BM + CM
Vì tg CQD cân tại Q => ^BDC = ^QCD = ^BQC/2
Tương tự tg CME cân tại M => ^BEC = ^MCE = ^BMC/2
Mà ^BMC = ^BQC => ^BEC = ^BDC => B,C,D,E cùng thuộc đường tròn đường kính BD => BE =< BD <=> BM + CM =< 2BQ => (BM + CM)
Max = 2BQ xảy ra khi E trùng D hay khi M trùng Q khi đó A là điểm chính giữa cung lớn BC
Cho tam giac ABC vuông tại A, đường cao AH.Biết AB, AH=28cm.Kẻ đường phân giác BD của tam giác ABC.Xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC để P=Sin AMH + Cos AMH đạt giá trị lớn nhất
Cho tam giác nhọn ABC. Tìm điểm P trong tam giác ABC sao cho khooangr cách từ P đến các cạnh của tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất.
Cho tam giác abc nhọn. Tim vị trí của điểm D nằm trong tam giác sao cho DA+ DB+ DC có giá trị nhỏ nhất.
Trước tiên ta phát biểu và chứng minh một bổ đề:
Bổ đề. "Cho tam giác ABCABC và một điểm MM nằm trong tam giác. Chứng minh rằng MB+MC<AB+ACMB+MC<AB+AC."
Chứng minh. Kéo dài BMBM về phía MM cắt cạnh ACAC tại điểm NN. Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
$$AN+AB>BN=BM+MN\\
MN+NC>MC$$
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên và trừ đi hai vế cho MNMN ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh.
Ta xét hai trường hợp:
a) Tam giác ABCABC có ba góc nhỏ hơn 120∘120∘.
Ta dựng tam giác đều BCDBCD ở phía ngoài tam giác ABCABC.
Gọi TT là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCDBCD với ADAD. Dễ dàng chứng minh rằng TT nhìn ba cạnh của tam giác ABCABC dưới ba góc bằng nhau. Ta chứng minh rằng với một điểm MM tùy ý ở trong tam giác ABCABC khác điểm TT thì ta cóMA+MB+MC>TA+TB+TCMA+MB+MC>TA+TB+TC
Thật vậy ta có MB+MC≥MDMB+MC≥MD và do đóMA+MB+MC≥MA+MD≥AD (1)MA+MB+MC≥MA+MD≥AD (1)
Mặt khác TA+TB+TC=TA+TDTA+TB+TC=TA+TD, do TT nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đều BCDBCD. Và cuối cùng làTA+TB+TC=TA+TD=AD (2)TA+TB+TC=TA+TD=AD (2)
Từ (1)(1) và (2)(2) suy raMA+MB+MC≥TA+TB+TCMA+MB+MC≥TA+TB+TC
Đẳng thức xảy ra khi M≡TM≡T (điểm TT được gọi là điểm Toricenli của tam giác ABCABC).
b) Tam giác ABCABC có một góc, chẳng hạn ˆB≥120∘B^≥120∘.
Dựng tam giác đều BCDBCD ở phía ngoài của tam giác ABCABC.
Do ˆB≥120∘B^≥120∘ nên với mọi điểm MM tùy ý ở trong tam giác ABCABC, điểm BB nằm trong tam giác MDAMDA.
Ta có MB+MC≥MDMB+MC≥MD. Mặt khác theo bổ đề trên đối với tam giác MDAMDA ta có MA+MD≥BA+BDMA+MD≥BA+BD.
Từ đó ta cóOA+OB+OC≥OA+OD≥BA+BD=BA+BCOA+OB+OC≥OA+OD≥BA+BD=BA+BC
Như vậy khi M≡BM≡B thì tổng khoảng cách từ MM đến các đỉnh còn lại của tam giác ABCABC là nhỏ nhất. Tóm lại trong trường hợp tam giác ABCABC có một đỉnh không nhỏ hơn 120∘120∘ thì chỉnh đỉnh này là đỉnh cần tìm.
Bạn thay M=D hộ mình nhé tại mình nhìn lộn đề của bạn
có cách nào dễ hiểu hơn k chứ mình đang học lớp 7 thôi
Cho tam giác nhọn ABC. Tìm điểm P trong tam giác ABC sao cho tổng các khoảng cách từ P đến 3 cạnh của tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất .
Mọi người giúp em chút với ạ, em biết đáp án nhưng bị rối ở hướng chứng minh Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O, BC cố định còn A thay đổi trên cung lớn BC. Tìm vị trí A sao cho diện tích và chu vi tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất.