Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH, kẻ HE vuông góc với AB, HF vuông góc với AC. C/m\(\sqrt[3]{BE^2}+\sqrt[3]{CF^2}=\sqrt[3]{BC^2}\)
Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH , kẻ HE vuông góc với AB , HF vuông góc với AC :
CM : \(\sqrt[3]{BC^2}\)= \(\sqrt[3]{CF^2}\)+ \(\sqrt[3]{BE^2}\)
cho tam giác ABC vuông tại A kẻ AH vuông góc với BC,HE vuông góc AB, HF vuông góc AC
CMR
a, AE.EB=AF.AC
b,AE.EB+AF.FC=\(^{AH^2}\)
c,\(\frac{AB^3}{AC^3}\)=\(\frac{BE}{CF}\)
d,\(\sqrt[3]{BC^2}\)=\(\sqrt[3]{FC^2}\)+\(\sqrt[3]{BE^2}\)
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB<AC, đường cao AH. Kẻ HE vuông góc với AB, HF vuông góc với AC. AH cắt EF tại O. CMR:
1. AE.AB=AF.AC
2.AH^2 = AE.AB+AF.AC
3.AH^3 = BH.HE.HF
4.HB.HC=4 OE.OF
5. \(\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{HB}{HC}\)
6. \(\frac{AB^3}{AC^3}=\frac{BE}{CF}\)
7. \(\sqrt{EH.EB}+\sqrt{FH.FC}=\sqrt{AH.BC}\)
1: Xét ΔABH vuông tại H có HE là đường cao
nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔACH vuông tại H có HF là đường cao
nên \(AF\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)
2: \(AE\cdot AB+AF\cdot AC=AH^2+AH^2=2AH^2\)
4: \(4\cdot OE\cdot OF=2OE\cdot2OF=FE\cdot AH=AH^2\)
\(HB\cdot HC=AH^2\)
Do đó: \(4\cdot OE\cdot OF=HB\cdot HC\)
cho tam giác abc vuông tại a đường cao ah , he vuông góc với ab , hf vuông góc với ac .
a)1/af^2=1/ab^2+1/ac^2+1/bh^2
b) ah^3=be.cf.bc
c) be/cf=(ab/ac)^3
c) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}BH\cdot BC=AB^2\\CH\cdot BC=AC^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{AB^2}{BC}\\CH=\dfrac{AC^2}{BC}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{BH}{CH}=\dfrac{AB^2}{BC}\cdot\dfrac{BC}{AC^2}=\dfrac{AB^2}{AC^2}\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:
\(BE\cdot BA=HB^2\)
\(\Leftrightarrow BF=\dfrac{HB^2}{AB}\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:
\(CF\cdot CA=CH^2\)
hay \(CF=\dfrac{HC^2}{AC}\)
Ta có: \(\dfrac{BE}{CF}=\dfrac{HB^2}{AB}:\dfrac{HC^2}{AC}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{BE}{CF}=\left(\dfrac{HB}{HC}\right)^2\cdot\dfrac{AC}{AB}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{BE}{CF}=\dfrac{AB^4\cdot AC}{AC^4\cdot AB}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3\)
a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:
\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABH vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:
\(\dfrac{1}{HE^2}=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{BH^2}\)
Xét tứ giác AFHE có
\(\widehat{FAE}=90^0\)
\(\widehat{HFA}=90^0\)
\(\widehat{HEA}=90^0\)
Do đó: AFHE là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
Suy ra: AF=HE
Ta có: \(\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}+\dfrac{1}{BH^2}\)
\(=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{BH^2}\)
\(=\dfrac{1}{HE^2}=\dfrac{1}{AF^2}\)(đpcm)
b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:
\(BE\cdot BA=BH^2\)
\(\Leftrightarrow BE=\dfrac{HB^2}{AB}\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:
\(CF\cdot CA=CH^2\)
\(\Leftrightarrow CF=\dfrac{HC^2}{AC}\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}AH^2=HB\cdot HC\\AB\cdot AC=AH\cdot BC\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(BE\cdot CF\)
\(=\dfrac{\left(BH\cdot CH\right)^2}{AB\cdot AC}=\dfrac{\left(AH^2\right)^2}{AH\cdot BC}\)
\(=\dfrac{AH^4}{AH\cdot BC}=\dfrac{AH^3}{BC}\)
\(\Leftrightarrow BE\cdot CF\cdot BC=AH^3\)
Cho tam giác ABC vuông tại A có AH vuông góc với BC; HE,HF lần lượt vuông góc với AB,AC tại E,F. Gọi O là trung điểm BC
a) CMR: OA vuông góc với EF
b)CMR \(BE\sqrt{CH}+CF\sqrt{BH}=AH\sqrt{BC}\)
a) \(\Delta\)ABC vuông tại A có trung tuyến AO nên ^OAC = ^OCA. Do ^OCA = ^BAH (Cùng phụ ^HAC)
Nên ^OAC = ^BAH = ^ AEF (Do tứ giác AEHF là hcn)
Mà ^AEF + ^AFE = 900 => ^OAC + ^AFE = 900 => OA vuông góc EF (đpcm).
b) Biến đổi tương đương:
\(BE\sqrt{CH}+CF\sqrt{BH}=AH\sqrt{BC}\)
\(\Leftrightarrow BE\sqrt{BC.CH}+CF\sqrt{BC.BH}=AB.BC\)(Nhân mỗi vế với \(\sqrt{BC}\))
\(\Leftrightarrow BE\sqrt{AC^2}+CF\sqrt{AB^2}=AB.BC\) (Hệ thức lương)
\(\Leftrightarrow BE.AC+CF.AB=AB.BC\)
\(\Leftrightarrow BH.AH+CH.AH=AB.BC\)(Vì \(\Delta\)EBH ~ \(\Delta\)HAC; \(\Delta\)FHC ~ \(\Delta\)HBA)
\(\Leftrightarrow AH\left(BH+CH\right)=AB.BC\)
\(\Leftrightarrow AH.BC=AB.AC\) (luôn đúng theo hệ thức lượng)
Vậy có ĐPCM.
Cho tam giác ABC vuông tại A có AH vuông góc với BC; HE,HF lần lượt vuông góc với AB,AC tại E,F. Gọi O là trung điểm BC
a) CMR: OA vuông góc với EF
b)CMR \(BE\sqrt{CH}+CF\sqrt{BH}=AH\sqrt{BC}\)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, kẻ HE vuông góc với AB (E thuộc AB), kẻ HF vuông góc với AC (F thuộc AC)
a, Chứng minh AE . AB = AF. AC = BH . HC
b, Cho AB =\(\sqrt{12}\) cm, HC = 4cm. Tính AB, BC
c, AE . EB + AF . FC = BH . HC
d, AH\(^3\) = BC. HE. HF
a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC
nên \(AH^2=HB\cdot HC\left(1\right)\)
Xét ΔABH vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB
nên \(AH^2=AE\cdot AB\left(2\right)\)
Xét ΔACH vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền AC
nên \(AH^2=AF\cdot AC\left(3\right)\)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC=BH\cdot HC\)
Cho tam giác abc vuông tại a, đường cao ah. Kẻ he vuông góc với ab tại e, hf vuông góc ac tại f
A) cho bh =3cm,ah=4cm.tính ae,be
B) chứng minh:tam giác abc đồng dạng tam giác afe
C) chứng minh :bc^2=3ah^2+be^2+cf^2
cho tam giác ABC vuông tại A có AB=c,Ac=b, đường cao AH.từ H kẻ HD vuông góc với b tại D, HE vuông góc với AC tại E.chưng minh BD=BC.cos^3B.từ đó suy ra \(\sqrt[3]{BD^2}+\sqrt[3]{CE^2}=\sqrt[3]{BC^2}\)