a: \(n^3-2⋮n-2\)

=>\(n^3-8+6⋮n-2\)

=>\(6⋮n-2\)

=>\(n-2\in\left\{1;-1;2;-2;3;-3;6;-6\right\}\)

=>\(n\in\left\{3;1;4;0;5;-1;8;-4\right\}\)

b: \(n^3-3n^2-3n-1⋮n^2+n+1\)

=>\(n^3+n^2+n-4n^2-4n-4+3⋮n^2+n+1\)

=>\(3⋮n^2+n+1\)

=>\(n^2+n+1\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

mà \(n^2+n+1=\left(n+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>=\dfrac{3}{4}\forall n\)

nên \(n^2+n+1\in\left\{1;3\right\}\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}n^2+n+1=1\\n^2+n+1=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n^2+n=0\\n^2+n-2=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}n\left(n+1\right)=0\\\left(n+2\right)\left(n-1\right)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow n\in\left\{0;-1;-2;1\right\}\)

\(\Leftrightarrow n^5+n^2-n^2+1⋮n^3+1\)

\(\Leftrightarrow-n^3+n⋮n^3+1\)

\(\Leftrightarrow n=1\)

a, Nếu \(n=3k\left(k\in Z\right)\Rightarrow A=n^3-n=27k^3-3k⋮3\)

Nếu \(n=3k+1\left(k\in Z\right)\)

\(\Rightarrow A=n^3-n\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

\(=\left(3k+1\right).3k.\left(3k+2\right)⋮3\)

Nếu \(n=3k+2\left(k\in Z\right)\)

\(\Rightarrow A=n^3-n\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

\(=\left(3k+2\right)\left(n+1\right)\left(3k+3\right)⋮3\)

Vậy \(n^3-n⋮3\forall n\in Z\)

 n3−n⋮3∀n∈Z

a) \(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3

b) \(n\left(n-1\right)\left(2n-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1+n-2\right)=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)+\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\)Ta có: \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3, mà(2,3)=1 nên \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮6\) 

Tương tự ta cũng được \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n⋮6\)

\(\Rightarrow\left(n-1\right)n\left(n+1\right)+\left(n-2\right)\left(n-1\right)n⋮6\)

\(\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(2n-1\right)⋮6\left(đpcm\right)\)

Ở đây, ta có thực hiện đặt phép chia như câu 1 để tìm số dư và tìm điều kiện giá trị của n để thỏa mãn đề bài. Nhưng bài này ta làm cách biến đội như sau:

11:

n^3-n^2+2n+7 chia hết cho n^2+1

=>n^3+n-n^2-1+n+8 chia hết cho n^2+1

=>n+8 chia hết cho n^2+1

=>(n+8)(n-8) chia hết cho n^2+1

=>n^2-64 chia hết cho n^2+1

=>n^2+1-65 chia hết cho n^2+1

=>n^2+1 thuộc Ư(65)

=>n^2+1 thuộc {1;5;13;65}

=>n^2 thuộc {0;4;12;64}

mà n là số tự nhiên

nên n thuộc {0;2;8}

Thử lại, ta sẽ thấy n=8 không thỏa mãn

=>\(n\in\left\{0;2\right\}\)

-2.

-1.

0.

1.

2.

3.

4.

5.

6

=0

a) Gợi ý: phân tích 50 n + 2   -   50 n + 1 = 245.10. 50 n .

b) Gợi ý: phân tích n 3  - n = n(n - 1)(n +1).

1/n=6

2/n=0