Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
Nguyễn Thị Huyền Diệp
Xem chi tiết
Nguyễn Thành Long
21 tháng 3 2022 lúc 0:29

undefined

Bùi Đức Huy Hoàng
21 tháng 3 2022 lúc 9:19

từ đề bài ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: 

\(3+\dfrac{z}{x+y}+\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{9}{4}\)

<=>\(\dfrac{3}{4}+\dfrac{z}{x+y}+\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)

ta có \(\dfrac{3}{4}+\dfrac{z}{x+y}+\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}\le\dfrac{3}{4}+\dfrac{z+y}{4x}+\dfrac{x+z}{4y}+\dfrac{x+y}{4z}=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\left(đpcm\right)\)Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=\(\dfrac{1}{3}\)

hiền nguyễn
Xem chi tiết
Sky Gaming
24 tháng 4 2023 lúc 23:32

Ta có bất đẳng thức AM-GM dạng phân thức sau: 

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\Rightarrow \dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})\)

Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi a=b

Quay lại bài toán: Áp dụng bđt trên, ta có:

\(\dfrac{1}{2x+y+z}=\dfrac{1}{(x+y)+(x+z)}\le\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z})\\ \le\dfrac{1}{16}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z})=\dfrac{1}{16}(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})\)

Tương tự:

 \(\dfrac{1}{x+2y+z}\le\dfrac{1}{16}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{z})\)\(\dfrac{1}{x+y+2z}\le\dfrac{1}{16}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{2}{z})\)

Cộng 3 phân thức lại, ta có:

\(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\le\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})=\dfrac{1}{4}.4=1\)

Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi: \(x=y=z=\dfrac{3}{4}\)

OoO hoang OoO
Xem chi tiết
Thanh Tùng DZ
3 tháng 6 2019 lúc 19:23

Ta có : \(8^x+8^x+8^2\ge3\sqrt[3]{8^x.8^x.8^2}=12.4^x\)

\(8^y+8^y+8^2\ge3\sqrt[3]{8^y.8^y.8^2}=12.4^y\)

\(8^z+8^z+8^2\ge3\sqrt[3]{8^z.8^z.8^2}=12.4^z\)

\(8^x+8^y+8^z\ge3\sqrt[3]{8^x.8^y.8^z}=3\sqrt[3]{8^6}=192\)

Cộng các vế , ta được :

\(3\left(8^x+8^y+8^z+64\right)\ge3\left(4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}+64\right)\)

hay \(8^x+8^y+8^z\ge4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}\)

khuathuuthien
Xem chi tiết
Tiểu Thiên Yết
30 tháng 3 2020 lúc 13:14

Áp dụng BĐT quen thuộc sau:\(\frac{4}{a+b}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)

\(\frac{16}{2x+y+z}\le\frac{4}{x+y}+\frac{4}{x+z}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)

Tương tự:

\(\frac{16}{x+2y+z}\le\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\)

\(\frac{16}{x+y+2z}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z}\)

Khi đó:\(16VT\le4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=16\)

\(\Rightarrow VT\le1\)

Khách vãng lai đã xóa
Là Tôi Tôi
Xem chi tiết
Lovely
Xem chi tiết
Cao Thị Trà My
Xem chi tiết
Cao Thị Trà My
Xem chi tiết
Đan Linh
Xem chi tiết
Trần Tuấn Hoàng
19 tháng 4 2022 lúc 9:40

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{2022}\)

\(\Rightarrow\dfrac{yz+zx+xy}{xyz}=\dfrac{1}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow\left(yz+zx+xy\right)\left(x+y+z\right)=xyz\)

\(\Rightarrow xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+zx\left(z+x\right)+3xyz-xyz=0\)

\(\Rightarrow xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+zx\left(z+x\right)+2xyz=0\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)

\(\Rightarrow x=-y\) hoặc \(y=-z\) hoặc \(z=-x\).

-Đến đây thôi bạn, câu hỏi sai rồi ạ.