Ta có bất đẳng thức AM-GM dạng phân thức sau:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\Rightarrow \dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})\)
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi a=b
Quay lại bài toán: Áp dụng bđt trên, ta có:
\(\dfrac{1}{2x+y+z}=\dfrac{1}{(x+y)+(x+z)}\le\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z})\\ \le\dfrac{1}{16}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z})=\dfrac{1}{16}(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})\)
Tương tự:
\(\dfrac{1}{x+2y+z}\le\dfrac{1}{16}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{z})\); \(\dfrac{1}{x+y+2z}\le\dfrac{1}{16}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{2}{z})\)
Cộng 3 phân thức lại, ta có:
\(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\le\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})=\dfrac{1}{4}.4=1\)
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi: \(x=y=z=\dfrac{3}{4}\)
