Xét ΔABD có

H,O lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>HO là đường trung bình của ΔABD

=>HO//AD và \(HO=\dfrac{AD}{2}\)

\(HO=\dfrac{AD}{2}\)

\(AK=\dfrac{AD}{2}\)

Do đó: HO=AK

Xét tứ giác AHOK có

HO//AK

HO=AK

Do đó: AHOK là hình bình hành

Hình bình hành AHOK có \(\widehat{HAK}=90^0\)

nên AHOK là hình chữ nhật

Gọi N là giao điểm của AO và HK

AHOK là hình chữ nhật

=>AO=HK và AO cắt HK tại trung điểm của mỗi đường

=>AO=HK và N là trung điểm chung của AO và HK

=>\(AN=ON=HN=KN=\dfrac{AO}{2}=\dfrac{HK}{2}\left(1\right)\)

ΔAMO vuông tại M

mà MN là đường trung tuyến

nên \(MN=\dfrac{AO}{2}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(MN=\dfrac{HK}{2}\)

Xét ΔKMH có

MN là đường trung tuyến

\(MN=\dfrac{HK}{2}\)

Do đó: ΔKMH vuông tại M

=>KM\(\perp\)MH tại M

a) Xét ΔANI và ΔCND có 

\(\widehat{ANI}=\widehat{CND}\)(hai góc đối đỉnh)

\(\widehat{IAN}=\widehat{DCN}\left(=45^0\right)\)

Do đó: ΔANI\(\sim\)ΔCND(g-g)

M là trung điểm AB \(\Rightarrow\overrightarrow{IM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}\right)\)

\(\Rightarrow2\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{DC}=\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}\right).\left(\overrightarrow{DI}+\overrightarrow{IC}\right)=\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{DI}+\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{DI}\)

\(=\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{DI}=-IA.IC+IB.DI\)

Mặt khác do 2 tam giác vuông DIC và AIB đồng dạng (\(\widehat{IAB}=\widehat{IDC}\) cùng chắn BC)

\(\Rightarrow\dfrac{IA}{ID}=\dfrac{IB}{IC}\Rightarrow IA.IC=IB.ID\Rightarrow-IA.IC+IB.ID=0\)

\(\Rightarrow2\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{DC}=0\Rightarrow IM\perp DC\)

Theo chứng minh ở câu a. △ AEB đồng dạng  △ ABC theo tỉ số k = 1/2 nên dễ thấy BE = 1/2 BC hay BE = BM

Suy ra: ΔBEM cân tại B.

Xét tam giác EBC có: 

Suy ra: OB là đường phân giác góc EBC

BO là đường phân giác góc ở đỉnh của tam giác cân BEM nên BO vuông góc với cạnh đáy EM (đpcm).

quên cách làm mất rồi...

a: Xét tứ giác AMCN ó

AM//CN

AM=CN

Do đó: AMCN là hình bình hành

b: Vì ABCD là hcn

nên AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường(1)

Vì AMCN là hbh

nên AC cắt MN tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1), (2) suy ra AC,BD,MN đồng quy