cho x, y, z là số thực thỏa mãn điều kiện: y2+yz+z2=1-(3x2:2)
tìm GTLN và GTNN của biểu thức A=x+y+z
Cho x, y, z là các số thực thoả mãn điều kiện \(\dfrac{3x^2}{2}\)+ y2 + z2 +yz = 1. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức A = x + y + z
\(\Leftrightarrow3x^2+2y^2+2z^2+2yz=2\)
\(\Rightarrow2\ge3x^2+2y^2+2z^2+y^2+z^2\)
\(\Leftrightarrow2\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
Có: \(\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)\le2\)
\(\Rightarrow\)\(A^2\le2\) \(\Leftrightarrow A\in\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]\)
minA=-1\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=-\sqrt{2}\\x=y=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z=-\dfrac{\sqrt{2}}{3}\)
maxA=1\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=\sqrt{2}\\x=y=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z=\dfrac{\sqrt{2}}{3}\)
Cho các số thực x, y, z thay đổi và thỏa mãn điều kiện x 2 + y 2 + z 2 = 1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x y + y z + 2 x z 2 − 8 x + y + z 2 − x y − y z + 2
A. min P = − 5
B. min P = 5
C. min P = 3
D. min P = − 3
Đáp án D
Ta có C 12 1 . C 10 1 = 120
Khi đó C 12 1 . C 10 1 = 120 . Đặt C 12 1 . C 10 1 = 120
Ta luôn có C 12 1 . C 10 1 = 120
C 12 1 . C 10 1 = 120 Suy ra C 12 1 . C 10 1 = 120
Xét hàm số f t = t 2 − 8 t + 3 trên khoảng − 1 ; + ∞ ,có f ' t = 2 t + 1 2 t + 4 t + 3 2 > 0 ; ∀ t > − 1
Hàm số f(t) liên tục trên − 1 ; + ∞ ⇒ f t đồng biến trên − 1 ; + ∞
Do đó, giá trị nhỏ nhất của f(t) là min − 1 ; + ∞ f t = f − 1 = − 3 . Vậy P min = − 3
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x - y + z = 3 x 2 + y 2 + z 2 = 5 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P = x + y - 2 z + 2 . Tính M + m
A. M + m = 2
B. M + m = 4 3 3
C. M + m = 4
D. M + m = 4 3 6
Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện:
x2+ y2+ z2< hoặc = 27
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
x+ y+ z+ xy+ yz+ zx
Tìm GTNN vafd GTLN của biểu thức B= x+y+z; biết x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện y2 + yz + z2 = 2 -\(\frac{3x^2}{2}\)
Cho các só thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x - y + z = 3 x 2 + y 2 + z 2 = 5 . Hỏi biểu thức P = x + y - 2 z + 2 có thể nhận bao nhiêu giá trị nguyên?
A. 2
B. 1
C. 3
D. 4
Chọn đáp án A
Do đó, P có thể nhận các giá trị nguyên là 0; -1
STUDY TIP |
Trong biểu thức P vai trò của z khác x, y do đó, ta tìm cách rút x, y theo z từ điều kiện ban đầu. Từ đó quy về phương trình ẩn z và tìm điều kiện để phương trình có nghiệm |
Phương trình (2), (3) là các phương trình mặt phẳng
Hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến d có vecto chỉ phương là
Phương trình (4) là phương trình mặt cầu (S) có tâm O(0;0;0) bán kính R = 5
X, y, z tồn tại khi và chỉ khi d cắt (S)
Do đó P có thể nhận các giá trị nguyên là 0; -1
STUDY TIP |
Các biểu thức liên hệ giữa x, y, z có dạng phương trình mặt phẳng, mặt cầu. Từ đó giúp ta nghĩ đến việc xét vị trí tương dối giữa mặt cầu, với đường thẳng và mặt phẳng |
Cho các số thực x,y,z không âm thỏa mãn x + y + z = 2. GTLN và GTNN của biểu thức P = 2 1 + x + 1 + y 2 + 1 + z 2 lần lượt là M và m. Giá trị M + m nằm trong khoảng nào dưới đây?
A. (5;6)
B. (6;7)
C. (7;8)
D. (8;9)
Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện x^2+y^2+z^2<=2018 Tìm GTNN và GTLN A=x+y+z+xy+xz+yz
Cho x,y,z là 3 số dương thỏa mãn điều kiện x2+y2+z2=2
Tìm GTLN của biểu thức:
\(P=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{y^2+z^2}+\dfrac{2}{z^2+x^2}-\dfrac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}\)
Lời giải:Vì $x^2+y^2+z^2=2$ nên:
$P=\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{z^2+x^2}-\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}$
$=3+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{x^2+z^2}+\frac{z^2}{x^2+y^2}-\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}$
$\leq 3+\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2xz}+\frac{z^2}{2xy}-\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}$
(theo BĐT AM-GM)
$=3+\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}-\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}=3$
Vậy $P_{\max}=3$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\sqrt{\frac{2}{3}}$
Tìm GTNN và GTLN của biểu thức B= x+y+z biết rằng x:y:z là các số thực thỏa mãn đk x^2+yz+z^2=1-3x^2/2