Diện tích tam giác vuông ABD vuông tại A được tính theo 2 cách:

\(S_{ABD}=\frac{AB\times AD}{2}=\frac{AH\times BD}{2}=\frac{S_{ABCD}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}\)

=> \(AH\times BD=4\sqrt{3}\)

=> \(BD\times\sqrt{3}=4\sqrt{3}\)

=> \(BD=4\left(cm\right)\)

Tam giác AHB đồng dạng tam giác DHA theo trường hợp góc - góc nên suy ra:
\(\frac{AH}{HD}=\frac{BH}{AH}\) => \(AH^2=BH\times DH=\left(BD-DH\right)\times DH\)

=> \(\left(\sqrt{3}^2\right)=3=\left(4-DH\right)\times DH\)

=> \(4DH-DH^2-3=0\)

=> \(-\left(DH^2-4DH+3\right)=0\)

=> \(DH^2-4DH+3=0\)

=> \(DH^2-DH-3DH+3=0\)

=> \(DH\left(DH-1\right)-3\left(DH-1\right)=0\)

=> \(\left(DH-1\right)\left(DH-3\right)=0\)

Với trường hợp DH=1 (cm) thì theo định lí Pytago, ta sẽ tính được AD=2(cm)

Với trường hợp DH=3(cm) thì theo định lí Pytago, ta sẽ tính được \(AD=\sqrt{12}\left(cm\right)\)

Vậy độ dài chiều dài của hình chữ nhật đó là \(\sqrt{12}\left(cm\right)\)

ABCD là hình chữ nhật

=>AC=BD và AB^2+AD^2=BD^2

=>\(AB^2+AD^2=\left(4\sqrt{5}\right)^2=80\)

=>5AD^2=80

=>AD^2=16

=>AD=4

=>AB=8

ΔABD vuông tại A có AH là đường cao

nên AH*BD=AB*AD

=>AH*4căn 5=32

=>\(AH=\dfrac{8}{\sqrt{5}}\)

ΔABD vuông tại A có AH là đường cao

nên DH*DB=AD^2

=>\(DH\cdot4\sqrt{5}=4^2=16\)

=>\(DH=\dfrac{4}{\sqrt{5}}\)

Kẻ CK vuông góc BD, O là giao điểm của AC và BD

ABCD là hình chữ nhật

=>AC=BD và AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

=>DO=2căn 5

\(HO=2\sqrt{5}-\dfrac{4}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}-\dfrac{4\sqrt{5}}{5}=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}\)

Xét ΔAHD vuông tại H và ΔCKB vuông tại K có

AD=CB

góc ADH=góc CBK

Do đó: ΔAHD=ΔCKB

=>AH=CK 

Xét tứ giác AHCK có

AH//CK

AH=CK

Do đó: AHCK là hình bình hành

=>O là trung điểm của HK

=>HK=2*HO=12*căn 5/5

\(AK=\sqrt{AH^2+HK^2}=\dfrac{4\sqrt{65}}{5}\)

=>\(CH=\dfrac{4\sqrt{65}}{5}\)

a: \(DB=\sqrt{20^2+15^2}=25\left(cm\right)\)

\(AH=\dfrac{AB\cdot AD}{BD}=12\left(cm\right)\)

b: Xét ΔADB vuông tại A và ΔHDA vuông tại H có

góc ADB chung

Do đó: ΔADB\(\sim\)ΔHDA

a: \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2+AD^2=BD^2=25\\\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{25}{144}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=4\left(cm\right)\\AC=3\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow S_{ABCD}=AB\cdot AC=12\left(cm^2\right)\)