cos(30⁰) =\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

lik-e nha              

Vì \(\tan MAB=\frac{MB}{AB}=\frac{1}{2}\Rightarrow\widehat{MAB}=26,5°\)Tương tự có \(\widehat{NAD}=26,5°\)

\(\Rightarrow\widehat{MAN}=37°\Rightarrow\cos MAN=\cos37\approx0,79\)

Đặt AB=BC=CD=AD=2a

=>NC=MC=BM=DN=a

\(NM=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}\)

\(AM=\sqrt{\left(2a\right)^2+a^2}=a\sqrt{5}\)

\(AN=\sqrt{\left(2a\right)^2+a^2}=a\sqrt{5}\)

Xét ΔMAN có \(cosMAN=\dfrac{AM^2+AN^2-MN^2}{2\cdot AM\cdot AN}=\dfrac{5a^2+5a^2-2a^2}{2\cdot a\sqrt{5}\cdot a\sqrt{5}}\)

\(=\dfrac{8a^2}{10a^2}=\dfrac{4}{5}\)

Kẻ đường cao MH của tam giác cân AMN. Ta có sin ∠ (NAM) = HM/AM và diện tích tam giác AMN là S A M N  = 1/2AN.MH = 1/2AN.AM.sin(NAM) = 1/2 A N 2 .sin(NAM) = 1/2( A D 2 + D N 2 ). sin(NAM) = ( 5 a 2 )/2 sin(NAM).

Xét  ∆ BEC và ∆ CFD , ta có: BE = CF (gt)

∠ B =  ∠ C = 90 0

BC = CD (gt)

Suy ra:  ∆ BEC =  ∆ CFD (c.g.c) ⇒ ∠C1 = ∠D1

Lại có:  ∠ C 1  +  ∠ C 2  =  90 0

Suy ra:  ∠ D 1  +  ∠ C 2  =  90 0

Trong ΔDCM có  ∠ D 1  +  ∠ C 2  =  90 0

Suy ra:  ∠ (DMC) =  90 0

Vậy CE ⊥ DF

Trong  △ ABD ta có:

M là trung điểm của AB

Q là trung điểm của AD nên MQ là đường trung bình của  △ ABD.

⇒ MQ // BD và MQ = 1/2 BD (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)

Trong  △ CBD ta có:

N là trung điểm của BC

P là trung điểm của CD

nên NP là đường trung bình của  △ CBD

⇒ NP // BD và NP = 1/2 BD (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MQ // NP và MQ = NP nên tứ giác MNPQ là hình bình hành

AC ⊥ BD (gt)

MQ // BD

Suy ra: AC ⊥ MQ

Trong △ ABC có MN là đường trung bình ⇒ MN // AC

Suy ra: MN ⊥ MQ hay (NMQ) = 90 0

Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.