2 /

Cho f(x) là một đa thức thỏa mãn thì : 3 . f(x) + 2.f(1-x) = 2x + 9

f(2) = ??????

3/ 

Min của a² + 4b² - 10a

\(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\)

\(f\left(1\right)=a+b+c=0\)

\(f\left(-1\right)=a-b+c=0\)

\(\Leftrightarrow f\left(1\right)+f\left(-1\right)=a+b+c+a-b+c=0\)

\(\Leftrightarrow2a+2c=0\)

\(\Leftrightarrow2a=-2c\)

\(\Leftrightarrow a=-c\)

\(\Rightarrowđpcm\)

\(\left\{{}\begin{matrix}1+a+b+c=0\\8+4a+2b+c=0\\a+b=-16\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=-1\\4a+2b+c=-8\\a+b=-16\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{9}{2}\\b=-\dfrac{41}{2}\\c=15\end{matrix}\right.\)

Với \(c=0\Rightarrow f\left(x\right)=0\) có nghiệm \(x=0\) (loại)

TH1: \(a;c\) trái dấu 

Xét pt \(f\left(x\right)=0\Leftrightarrow a\left(ax^2+bx+c\right)^2+b\left(ax^2+bx+c\right)+c=0\)

Đặt \(ax^2+bx+c=t\) \(\Rightarrow at^2+bt+c=0\) (1)

Do a; c trái dấu \(\Leftrightarrow\) (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu.

Không mất tính tổng quát, giả sử \(t_1< 0< t_2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}ax^2+bx+c=t_1\\ax^2+bx+c=t_2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}ax^2+bx+c-t_1=0\left(2\right)\\ax^2+bx+c-t_2=0\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Mà a; c trái dấu nên:

- Nếu \(a>0\Rightarrow c< 0\Rightarrow c-t_2< 0\Rightarrow a\left(c-t_2\right)< 0\)

\(\Rightarrow\) (3) có nghiệm hay \(f\left(x\right)=0\) có nghiệm (loại)

- Nếu \(a< 0\Rightarrow c>0\Rightarrow c-t_1>0\Rightarrow a\left(c-t_1\right)< 0\)

\(\Rightarrow\left(2\right)\) có nghiệm hay \(f\left(x\right)=0\) có nghiệm (loại)

Vậy đa thức \(f\left(x\right)\) luôn có nghiệm khi a; c trái dấu

\(\Rightarrow\)Để \(f\left(x\right)=0\) vô nghiệm thì điều kiện cần là \(a;c\) cùng dấu \(\Leftrightarrow ac>0\)

Khi đó xét \(g\left(x\right)=0\) có \(a.\left(-c\right)< 0\Rightarrow g\left(x\right)=0\) luôn có 2 nghiệm trái dấu (đpcm)