kho nhu bay len mat troi

gợi ý :

Tìm giá trị của \(m\) để hàm số có cực đại ,cực tiểu .

Ta có \(y'=3x^2-6mx=0\Leftrightarrow\begin{cases}x=0\\x=2m\end{cases}\)

Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m khác 0

Giả sử hàm số có 2 điểm cực trị là \(A\left(0;4m^3\right),B\left(2m;0\right)\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(2m;-4m^2\right)\)

Trung điểm của đoạn AB là \(I\left(m;2m^3\right)\)

Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng y=x là AB vuông góc với đường thẳng y=x và I thuộc đường thẳng y=x

\(\Leftrightarrow\begin{cases}2m-4m^3=0\\3m^3=m\end{cases}\)

Kết hợp với điều kiện ta có : \(m=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Giải ra ta có \(m=\pm\frac{\sqrt{2}}{2};m=0\)

Lời giải:

Ta có \(y'=3x^2-6mx+3(m+6)=0\) có hai nghiệm $x_1,x_2$ chính là hoành độ hai cực trị của đồ thị hàm số. Theo hệ thức Viet:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2m\\ x_1x_2=m+6\end{matrix}\right.(1)\)

Gọi đường thẳng qua hai điểm cực trị có PT \((d):y=ax+b\)

Ta có: \(\left\{\begin{matrix} y_1=ax_1+b=x_1^3-3mx_1^2+3(m+6)x_1+1\\ y_2=ax_2+b=x_2^3-3mx_2^2+3(m+6)x_2+1\end{matrix}\right.\)

Dựa vào $(1)$ và biến đổi đơn giản:

\(\Rightarrow a(x_1-x_2)=(x_1-x_2)[x_1^2+x_1x_2+x_2^2-3m(x_1+x_2)+3(m+6)]\)

\(\Rightarrow a=x_1^2+x_1x_2+x_2^2-3m(x_1+x_2)+3(m+6)=-2m^2+2m+12\)

\(\Rightarrow 2b=y_1+y_2-a(x_1+x_2)=2m^2+12m+2\Rightarrow b=m^2+6m+1\)

Do đó PTĐT thu được: \((d):y=(-2m^2+2m+12)x+m^2+6m+1\)

\(y'=3x^2-6\left(m+1\right)x+9\)

Để hàm số có cực đại và cực tiểu :

\(\Delta'=9\left(m+1\right)^2-3.9>0\Leftrightarrow m\in\left(-\infty;-1-\sqrt{3}\right)\cup\left(-1+\sqrt{3};+\infty\right)\)

Ta có \(y=\left(\frac{1}{3}x-\frac{m+1}{3}\right)\left(3x^2-6\left(m+1\right)x+9\right)-2\left(m^2+2m-2\right)x+4m+1\)

vậy đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu là \(y=-2\left(m^2+2m-2\right)x+4m+1\)

Vì 2 điểm cực đại và cực tiểu đối xứng qua đường thẳng \(y=\frac{1}{2}x\), ta có điêu kiện cần là 

\(\left[-2\left(m^2+2m-2\right)\right]\frac{1}{2}=-1\Leftrightarrow m^2+2m-3=0\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}m=1\\m=-3\end{cases}\)

Khi m=1 phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu là y=-2x+5. Tọa độ trung điểm cực đại và cực tiểu là 

\(\begin{cases}\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{4}{2}=2\\\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{-2\left(x_1+x_2\right)+10}{2}=1\end{cases}\)

Tọa độ trung điểm cực đại và cực tiể là (2;1) thuộc đường thẳng \(y=\frac{1}{2}x\)=> m=1

Khi m=-3 suy ra phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu là y=-2-11

=> m=-3 không thỏa mãn

Vậy m=1 thỏa mãn điều kiện đề bài