a: Xét tứ giác BOCM có

I là trung điểm chung của BC và OM

=>BOCM là hbh

=>OC//BM và OC=BM

Xét tứ giác DOCN có

K là trung điểm chung của DC và ON

=>DOCN là hbh

=>DN//OC và DN=OC

=>DN//BM và DN=BM

=>BDNM là hbh

c: BO//CM

NC//DO

mà B,O,D thẳng hàng

nên M,C,N thẳng hàng

Xét tứ giác OBMC ta có

2 đường chéo BC và OM cắt nhau tại I

I là trung điểm BC (gt)

I là trung điểm OM ( M là điểm đối xứng của O qua I)

-> tứ giác OBMC là hbh 

cmtt tứ giác ODNC là hbh

ta có

BM // OC ( OBMC là hbh)

DN // OC (ODNC là hbh)

-.> BM//CN

ta có 

BM // OC ( OBMC là hbh)

DN // OC (ODNC là hbh)

-.> BM//CN // OC

ta có 

BM = OC ( OBMC là hbh)

DN = OC (ODNC là hbh)

-.> BM  = ON

Xét tứ giác BMND ta có

BM // ON (cmt)

BM = ON (cmt)

-> tứ giác BMND là hbh

b) giả sử BMND là hcn

ta có

MB vuông góc BD ( BNMD là hcn)

BM // OC ( OBMC là hbh)

-> BD vuông góc OC tại O

Vậy AC vuông góc BD thì BMND là hcn

c) ta có 

BD // CM ( OB // CM ; O thuộc BD)

BD // CN ( OD //CN . O thuộc BD)

-> CM trùng CN

-> C,N,M thẳng hàng

Hình:

Giải:

a) Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}BH=HC\\MH=HO\end{matrix}\right.\)

Nên tứ giác BMCO là hình bình hành

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BM//OC\\BM=OC\end{matrix}\right.\left(1\right)\)

Tương tự, tứ giác OCND là hình bình hành

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}DN//OC\\DN=OC\end{matrix}\right.\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BM//DN\\BM=OC=DN\end{matrix}\right.\)

Suy ra tứ giác BMND là hình bình hành

b) Để hình bình hành BMND trở thành hình chũ nhật thì

Đồng thời BM//AC

Nên

c) Vì BMCO là hình bình hành nên MC//BD (3)

Và BMND là hình bình hành nên MN//BD (4)

Từ (3) và (4), suy ra M,N,C thẳng hàng (theo tiên đề Ơ-clit)

Vậy ...

a) Ta có:-

- M là trung điểm của AB

⇒  AM = MB.

- N là trung điểm của BC

⇒ BN = NC.

- P là trung điểm của CD

⇒ CP = PD.

- Q là trung điểm của DA

⇒ DQ = QA.

Do đó, ta có: AM = MB = BN = NC = CP = PD = DQ = QA.

⇒ tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Có:

- I là trung điểm của AC

⇒AI = IC.

- K là trung điểm của BD

⇒ BK = KD.

Do đó, ta có: AI = IC = BK = KD.

⇒ tứ giác INKQ là hình bình hành.

b)Gọi O là giao điểm của MP và NQ ta có:

MP // AB và NQ//CD ( M và N là trung điểm của AB và CD).

⇒ MP song song với NQ.

do đó :O nằm trên MP và NQ.

  Gọi H là giao điểm của MI và NK ta có:

MI // AC và NK // BD (do I và K là trung điểm của đường chéo AC và BD). 

⇒ MI song song với NK.

  Do đó: H nằm trên cả MI và NK.

  Gọi G là giao điểm của OH và BD ta có:

OH //MP và BD // MP (do O nằm trên MP và NQ, và H nằm trên  MI và NK). 

⇒ OH song song với BD.

doo đó: G nằm trên OH và BD.

⇒ I, O, K thẳng hàng.(ĐPCM)

a: Xét ΔBAC có BM/BA=BN/BC=1/2

nên MN//AC và MN=1/2AC

Xét ΔDAC có DQ/DA=DP/DC

nên PQ//AC và PQ/AC=DQ/DA=1/2

=>PQ=1/2AC

=>MN//PQ và MN=PQ

=>MNPQ là hình bình hành

Xét ΔCAB có CI/CA=CN/CB=1/2

nên IN//AB và IN=1/2AB

Xét ΔDAB có DQ/DA=DK/DB=1/2

nên QK//AB và QK=1/2AB

=>IN//QK và IN=QK

=>INKQ là hình bình hành

b: MNPQ là hình bình hành

=>MP cắt NQ tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm của NQ

INKQ là hbh

=>IK cắt NQ tại trung điểm của mỗi đường

=>I,O,K thẳng hàng

Ta co:IA =IB(gt) ; HA =HC(gt)

Suy ra:HI la` đg tb của tam giac ABC

Suy ra:IH =1/2BC ;IH//BC (1)

Trong tam giac BDC co:KD =KB(gt) ;JD =JC(gt)

Suy ra :KJ la đg tb cu`a tam giac BDC

Suy ra :KJ =1/2BC ;KJ//BC (2)

Tu (1) va (2) suy ra :KJ = IH ;KJ // IH

Suy ra :tu giac KIHJ la hinh binh hanh(2 canh doi song song va bang nhau)(*)

Trong tam giac ADC co:HA =HC(gt) ;JD = JC(gt)

Suy ra :HJ la đg tb của tam giac ADC

Suy ra :HJ = 1/2AD

Mà AD =BC(gt) ; HI = 1/2BC(c/m tren)

Suy ra :HJ = HI (**)

Tu (*) va (**) suy ra tu giac KIHJ la hinh thoi (hbh co 2 canh ke bang nhau)

Suy ra :IJ  vuong goc voi KH