giúp minh với nha

Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
a^3+2b^3=a^3+b^3+b^3\geq 3\sqrt[3]{a^3b^6}=3ab^2$

$a^3+1+1\geq 3a$

$b^3+1+1\geq 3b$

Cộng theo vế các BĐT trên:

$a^3+2b^3+(a^3+2)+2(b^3+2)\geq 3ab^2+3a+6b$

$\Leftrightarrow 2(a^3+2b^3)+6\geq 3(ab^2+a+2b)=3.4=12$

$\Rightarrow a^3+2b^3\geq (12-6):2=3$

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$

\(2=\left(a^2+ab+\dfrac{b^2}{4}\right)+\left(a^2-2+\dfrac{1}{a^2}\right)-ab\)

\(2=\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2-ab\ge-ab\)

\(\Rightarrow ab\ge-2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b\right)=\left(1;-2\right);\left(-1;2\right)\)

\(a^2+ab+b^2-b=0\)

\(\Delta=b^2-4\left(b^2-b\right)\ge0\Leftrightarrow-3b^2+4b\ge0\Rightarrow0\le b\le\dfrac{4}{3}\)

\(b^2+\left(a-1\right)b+a^2=0\)

\(\Delta=\left(a-1\right)^2-4a^2\ge0\Rightarrow-3a^2-2a+1\ge0\Rightarrow-1\le a\le\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow A=3a^5+b^4\le3.\left(\dfrac{1}{3}\right)^5+\left(\dfrac{4}{3}\right)^4=\dfrac{257}{81}< 4\)

a.

Ta có: \(a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2=\dfrac{1}{3}.2^2=2\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)

b.

\(a^4+b^4\ge\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)^2\ge\dfrac{1}{2}.2^2=2\) (sử dụng kết quả \(a^2+b^2\ge2\) của câu a)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)

c.

\(a^2b^2\left(a^2+b^2\right)=\dfrac{1}{2}ab.2ab\left(a^2+b^2\right)\le\dfrac{1}{8}\left(a+b\right)^2\left(2ab+a^2+b^2\right)^2=2\)

d.

\(8\left(a^4+b^4\right)+\dfrac{1}{ab}\ge8.2+\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}=16+\dfrac{4}{2^2}=17\) (sử dụng kết quả câu b)

a,bb,c là như thế nào bạn nhỉ?