\(SI=\left(SIC\right)\cap\left(SID\right)\) mà (SIC) và (SID) cùng vuông góc đáy \(\Rightarrow SI\perp\left(ABCD\right)\)

Trên DC lấy M sao cho \(CM=2BM\Rightarrow IM||BC\) hay \(IM\perp DC\)

\(\Rightarrow CD\perp\left(SIM\right)\) \(\Rightarrow\widehat{SMI}\) là góc giữa (SCD) và (ABCD) hay \(\widehat{SMI}=60^0\)

\(\Rightarrow SI=IM.tan60^0=a\sqrt{3}\)

Trong tam giác vuông SIM kẻ \(IH\perp SM\Rightarrow IH\perp\left(SCD\right)\Rightarrow IH=d\left(I;\left(SCD\right)\right)\)

\(\dfrac{1}{IH^2}=\dfrac{1}{SI^2}+\dfrac{1}{IM^2}=\dfrac{4}{3a^2}\Rightarrow IH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

Đáp án A

Phương pháp:

Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là SDA bằng cách sử dụng định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến.

Công thức tính thể tích khối chóp:  V = 1 3 S . h

Cách giải:

Ta có:  S A ⊥ A B C D ⇒ S A ⊥ C D

Mà A D ⊥ C D ⇒ C D ⊥ S A D ⇒ C D ⊥ S D .

Vì S C D ∩ A B C D = C D A D ⊥ C D S D ⊥ C D nên góc giữa (SCD) và (ABCD) là  S D A = 60 °

Ta có:  h = a . tan 60 ° = a 3

S A B M D = S A B C D − S Δ D C M = a 2 − 1 2 a . a 2 = 3 a 2 4

⇒ V S . A B M D = 1 3 S A B M D . h = 1 3 . 3 a 2 4 . a 3 = a 3 3 4

Chú ý khi giải:

HS thường xác định sai góc giữa hai mặt phẳng dẫn đến đáp số sai.

D. Đa số có khả năng di chuyển

a) Dễ dàng chứng minh tam giác ABC và ACD đều

Suy ra AC=a, SA= AC.tan(gócSCA)=a.tan(60⁰)

\(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SA.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.a\sqrt{3}.a^2.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a^3}{2}\)

b) Có 2 cách làm để tìm khoảng cách từ H đến mp(SCD), nhưng bạn nên chọn phương pháp tọa độ hóa cho dễ

Chọn A làm gốc tọa độ , các tia AD, AI, AS lần lượt trùng tia Ax, Ay, Az

Có ngay tọa độ các điểm \(S\left(0;0;a\sqrt{3}\right)\) , \(D\left(a;0;0\right)\) , \(I\left(0;\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)\)

\(\Rightarrow C\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)\)

theo số liệu đã cho, dễ xác định được điểm H chia đoạn SI với tỷ lệ 2:1

\(\Rightarrow H\left(0;\frac{a}{\sqrt{3}};\frac{a}{\sqrt{3}}\right)\)

Bây giờ chỉ cần viết pt (SCD) là tính được ngay khoảng cách từ H đến SCD

\(\left(SCD\right):\sqrt{3}x+y+z-\sqrt{3}=0\)

\(d\left(H\text{/}\left(SCD\right)\right)=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\)